Съставяне уравнение на парабола, когато са зададени фокуса и директрисата ѝ

Тук в жълто се опитах да начертая една парабола и както вече видяхме в предишни видеа, една парабола може да бъде определена като множеството на всички точки, които са равноотстоящи от една точка и една права, и точката се нарича фокус на параболата, а правата се нарича директриса на параболата. В това видео искам да направя нещо, което ще стане малко сложно алгебрически, но при дадено това определениe, искам да видя... При дадени това определение и фокус в точката х = а, у = b, и една права, директриса, при у = k, да открия какво ще е уравнението на тази парабола. И това ще е базирано на всички а, b и k, така че нека направим това. Нека вземем една произволна точка на параболата. Да кажем, че взимаме тази точка ето тук, нейната х координата е х, а у координатата е у. И по определение, за да бъде това парабола, това трябва да е равноотстоящо от фокуса и директрисата ѝ, но какво означава това? Това означава, че разстоянието до директрисата, която чертая тук в синьо, трябва да е същото като разстоянието до фокуса, който чертая в пурпурно, и когато вземем разстоянието до директрисата, буквално просто спускаме перпендикуляр, който ще е най-краткото разстояние до тази права. Но виждаме, че разстоянието до фокуса е под ъгъл, и може да трябва да използваме формулата за разстоянието, която всъщност е просто питагоровата теорема. Нека направим това. Това разстояние трябва да е същото като това разстояние. Какво е това синьо разстояние? Това просто ще е промяната ни в у. Това ще е това у минус k. Просто това разстояние. То ще е (у - k). Сега трябва да внимаваме. По начина, по който го начертах, у е по-голямо от k, така че това ще ни даде положителна стойност а на нас ни трябва неотрицателна стойност, ако говорим за разстояния. Но определено можеш да имаш парабола, при която у координатата на фокуса е по-малка от у координатата на директрисата, в който случай това ще е отрицателно. Така че всъщност искаме абсолютната стойност на това или можем да го повдигнем на квадрат, а после можем да вземем корен квадратен, положителният квадратен корен, което ще е равносилно на това да вземем абсолютната стойност на (у - k). Това е това разстояние ето тук, а според определението за парабола, за да може (х; у) да е точка от параболата, това разстояние трябва да е същото като разстоянието от (х; у) до (а; b), до фокуса. Какво ще е това? Просто прилагаме формулата за разстоянието, просто питагоровата теорема. Това ще е промяната ни в х, тоест (х - а) на квадрат, плюс промяната в у – (у - b) на квадрат и корен квадратен от цялото това нещо, корен квадратен от всичко това. Това ето тук е уравнение на парабола. Не изглежда така, изглежда доста сложно, но това Е уравнението на параболата. И за да ти покажа това, просто трябва да опростим. И ако те е налегнало вдъхновението, те съветвам да опиташ да опростиш това самостоятелно, просто ще е малко по-сложна алгебра, но не е толкова трудно. Ще получиш уравнение на парабола, което може да разпознаеш, и това ще е спрямо генералния фокус, (а; b), и генералната директриса, у = k. Нека направим това. Най-простото нещо за начало е просто да повдигнем двете страни на квадрат, за да се отървем от радикалите. Ако повдигнеш двете страни на квадрат, от лявата страна ще получиш (у - k) на квадрат е равно на (х - а) на квадрат плюс (у - b) на квадрат. Добре. Сега искам от лявата страна да ми остане само у, а в дясната страна само х, a, b и k. Така че първото нещо, което искам да направим, е да разкрием всеки от тези изрази, които включват у. Това синьото вляво – това ще е у на квадрат минус 2уk плюс k на квадрат и това ще е равно на... няма да променям това първото, тоест това ще е (х - а) на квадрат. И нека сега разкрием скобите, ще намеря цвят, разкриваме скобите на това в зелено – тоест плюс у на квадрат минус 2уb плюс b на квадрат. Просто умножих (у - b) по (у - b). Да видим дали можем да опростим. Вляво имам у на квадрат, вдясно имам у на квадрат. Ако извадя у на квадрат от двете страни, мога да направя това... Това малко опрости нещата и сега мога... Да видим какво мога да направя. Нека преместим k на квадрат от тази страна, така че нека извадим k на квадрат от двете страни, изваждаме k на квадрат от двете страни, това ще се махне от лявата страна, а сега нека добавим 2yb към двете страни, така че ще имаме всички у вляво. Тоест плюс 2уb, това ще ни даде 2уb вляво, плюс 2уb. На колко ще е равно това? Започвам да стигам до графиката си, така че нека си дам малко повече пространство. Какво ще имам вляво? Това е същото нещо като 2yb минус 2yk, което е същото нещо – всъщност нека запиша това. Това ще е 2у – нека го направя в зелено. Това ще е, всъщност нека започна с нов цвят. Това ще е 2уb минус 2уk. Можеш да изнесеш 2у пред скоби, така че това ще е 2у по (b - k). Нека направим това. Можем да запишем това като 2 по (b - k)у, ако изнесеш 2 и у, така че това е лявата страна, това е тази част тук. Тези неща се унищожават. Сега вдясно, обещах ти малко сложна алгебра, надявам се виждаш, че си изпълнявам обещанието. Вдясно имаш (х - а) на квадрат, а после, да видим, тези се унищожават, така че ти остава b на квадрат минус k на квадрат, така че тези две ще са b на квадрат минус k на квадрат – плюс b на квадрат минус k на квадрат. Казах, че вляво искам само у, така че нека разделим всичко на 2 по (b - k). Нека разделим всичко. 2 по (b - k). Ще разделя всичко това на 2 по (b - k). Очевидно вляво тези се съкращават, остава ти само у, а после това ще е у, равно на 1 върху 2 по (b - k). Забележи, (b - k) е разликата между у координатата на фокуса и у координатата, предполагам, можеш да кажеш, на правата у = k, така че това е 1 върху 2 по това, по (х - а) на квадрат. Ако знаеше колко е (b - k), това щеше да се опрости до някакво число, някакво число, което е умножено по (х - а) на квадрат, така че се надявам, че това започва да изглежда като параболите, които помниш от детството си. Ако помниш параболите от детството си. Да видим дали можем да опростим това нещо вдясно. Може да разпознаеш, че b на квадрат минус k на квадрат, това е разлика на квадрати. Тоест това е същото като (b + k) по (b - k). Тези (b - k) се съкращават, а после просто ни остава... и заслужаваме аплодисменти, остава ни само 1/2 по (b + k). Готово. При даден фокус в точка (a; b) и директриса при у = k, сега знаем каква ще е формулата на параболата. Например ако имам фокус в точката... не знам, да кажем, точката (1; 2), и имам директриса в у, равно на... не знам, нека го направим у = -1, какво щеше да е уравнението на тази парабола? Това ще е у, равно на 1 върху... 2 по (b - k), тоест (2 минус -1), което е същото като (2 плюс 1), така че това е просто 3, 2 минус -1 е 3, по (х - 1) на квадрат, плюс 1/2 по (b + k). 2 плюс -1 е 1, тоест записваме 1. И колко ще е това? Ще получиш у, равно на 1/6 по ((х - 1) на квадрат) плюс 1/2. Готово. Това е параболата с фокус в (1; 2) и директриса при у = -1. Удивително.