Въведение към фокус и директриса

В това видео искам да разберем две думи, които може да чуеш във връзка с параболите. Това е фокус. Това е фокус на парабола. И директриса. Директриса. Директриса, ето тук. Какви са тези неща? Една парабола може да бъде определена като множеството от всички точки, нека начертая две оси тук. Това е оста у (Оу), това е оста х (Ох). Това е Ох. Тоест една парабола може да бъде определена като множеството от всички точки, които са равноотстоящи от една точка и една права. Тази точка е фокусът на тази парабола, а правата е директрисата на параболата. Какво имам предвид? Нека вземем една точка. Да кажем, че това е точката ето тук и можем дори да кажем, че това е точката, да кажем, че х координатата ѝ е 'а', а у координатата ѝ ето тук е 'b'. Това е точката (a; b). И после нека начертаем една права за директриса. Всъщност ще направя това в различен цвят, вместо просто да е в бяло, понеже направих координатите в бяло. Ще го направим в този пурпурен цвят. Това (a; b) е фокусът. Да кажем, че у=с е директрисата. Това тук е правата, това тук е правата у=с. Това тук е оста у, това е с, това е правата у=с. И така, какво означава параболата да е множеството от всички точки, равноотстоящи между дадена точка и тази права? Нека помислим какви може да са тези точки. Тази точка ето тук ще е на половината между тази точка, между фокуса, и директрисата. И после, докато се отдалечаваме от х=а, ще получим точки някъде по тази крива. Което е парабола. Може би си казваш: "Не схващам това, не схващам защо точките по тази крива ще са равноотстоящи." Нека просто преценим разстоянията на око. Това разстояние – и очевидно го чертая на ръка, това няма да е напълно точно – това разстояние трябва да е равно на това разстояние. Това изглежда правдоподобно. Ако вземем тази точка ето тук от параболата, това разстояние трябва да е същото като това разстояние. Това изглежда правдоподобно. Ако вземеш тази точка от параболата, това разстояние трябва да е същото като това разстояние. Надявам се, че схващаш за какво говоря, когато кажа, че параболата е множеството от всички точки, които са равноотстоящи от този фокус и тази директриса. Всяка точка по тази парабола, тази точка тук, тази точка тук, разстоянието до фокуса трябва да е същото като това разстояние – разстоянието до директрисата. Когато говориш за разстоянието между една точка и друга точка, може да осъзнаеш, че разстоянието може, то ще е...предполагам можеш да кажеш, че то може да е под ъгъл. Това е право нагоре и надолу, това преминава от горе вляво до долу вдясно. Но когато вземаш разстоянието от една точка до права, всъщност спускаш перпендикуляр – отиваш право надолу. Или ако параболата беше тук долу, тогава щеше отидеш право нагоре, за да намериш това разстояние. Всички тези тук са прави ъгли. Ето това са фокусът и директрисата. И всяка парабола ще има фокус и директриса, понеже всяка парабола е множеството от всички точки, които са равноотстоящи от даден фокус и дадена директриса. Ето това са те. В бъдещи видеа ще опитаме да помислим за това как свързваш тези неща – фокусът и директрисата – с реалното уравнение на една парабола.