Определяне вида на конично сечение, зададено с разширено уравнение: елипса

Това е една задача, която е много вероятно да получиш в час: дадено е такова уравнение и се пита на какво конично сечение е, и се иска да начертаеш графиката му. Уравнението обикновено не е дадено в стандартен вид, за да не е твърде лесно – тогава можеше да го сравниш с вида на уравненията, които показах в някои от предишните видеа и да го разпознаеш веднага. Нека направим една такава задача и да видим дали ще я разберем. Имаме уравнението 9х^2 + 4у^2 + 54х – 8у + 49 = 0. Не можем веднага да определим какво е това, тъй като не е в стандартен вид. Един бърз начин да добиеш представа е да погледнеш членовете с квадрати на х и у, ако има такива. Ако има квадрат само на х, а у е само на първа степен без квадрат, то вероятно си имаме работа с парабола. Ще видим това по-късно. Или ако е обратното: х е само на първа степен и имаме у на квадрат, вероятно пак е парабола. Но ако си имаме работа с окръжност, елипса или хипербола, то ще имаме квадрати и на х, и на у. Ако тези два квадрата са умножени по еднакви числа, това е добър признак, че си имаме работа с окръжност. Ако числата пред тях са различни, но и двете са положителни, това ни дава знак, че вероятно е елипса. Ако единият квадрат има пред себе си отрицателно число, а другият има положително, това ни показва, че вероятно става въпрос за хипербола. Това ти помага много бързо да определиш типа на кривата, но не е от никаква помощ в начертаването ѝ или в намирането на стандартния ѝ вид. Затова нека преобразуваме уравнението в стандартен вид. Ключово тук е просто да допълним полиномите до квадрат. Приканвам те да изгледаш отново видеото за допълването до квадрат, защото точно това ще направим, за да стигнем до стандартната форма. Първата стъпка в допълването до квадрат, която ще направиш за членовете с х и за членовете с у, е да групираш х и у членовете. Да видим. Членовете с х тук са 9х^2 и 54х. Да напишем членовете с у в червено. Имаме плюс 4у^2 – 8у... ще използвам друг цвят плюс 49 равно на 0. Лесният начин да допълним квадрата, аз го предпочитам, е тук да изнесем 9 извън скоби от тези две числа и тук можем да изнесем 4. Да го направим, защото това ще ни помогне да допълним квадрата. Това е същото като 9 по х^2 плюс... 9 по 6 е 54, значи 6х. Тук трябва да добавя още нещо, но засега го оставям празно. Плюс 4 по (у^2 – 2у). Тук също ще добавям нещо, затова оставям място. Плюс 49 равно на 0. Какво ще добавим тук? С това ще допълним квадрата. Тук искаме да добавим някакво число, така че този тричлен да стане точен квадрат. Аналогично и тук ще добавим някакво число, за да направим и този тричлен точен квадрат. Разбира се, каквото и да добавим, ще бъде умножено по 9, защото всъщност добавяме 9 пъти това. И ще го добавим и към другата страна. Каквото и да добавим тук, ще го умножим по 4 и също ще го добавим и към другата страна. Ако тук сложа 1, това значи да сложа 4 отдясно, защото 1 по 4 е 4. Ако сложа 1 тук, то е 1 по 9, значи 9 отдясно. Да го направим. За да допълним квадрата, ни трябва половината на този коефициент. Този коефициент е 6 и ние взимаме половината, което е 3. Повдигаме на квадрат и получаваме 9. Не забравяй, че това е уравнение. Затова каквото добавим от едната страна, трябва да добавим и от другата. Отляво добавихме 9 по 9, значи 81. Добавяме 81 и отдясно, за да запазим равенството. За да е още по-ясно, това е същото като да добавя 81 тук горе. Разбира се, трябва да добавя 81 и от дясната страна. Сега да направим членовете с у. Взимаме половината на коефициента –2, половината е –1. Повдигнато на квадрат е плюс 1. Всъщност отляво добавихме 1 по 4, добавяме 4 и отдясно. Нека обясня какво направих тук. Това е еквивалентно на добавяне на 4 тук горе и уравновесяване на четворката и отдясно. Какво се получи? Този израз е 9 пъти по какво? Това е квадратът на (х + 3). После имаме плюс 4 по (у – 1) на квадрат. Ако тази стъпка те затрудни, може да преговориш темите за допълване до квадрат или разлагане на множители. След това имаме плюс 49 равно на 0 + 81 + 4, което е равно на 85. Имаме 9(х + 3)^2 + 4(у – 1)^2 и нека извадим 49 от двете страни, става равно на 85 – 49. Ако извадя 50 от 85, имам 35, но вадя 49, значи е 36. Вече се доближаваме до стандартния вид на уравнението. Не забравяй всички стандартни форми, които очаквахме за окръжността – там имахме у – и знаем, че това не е окръжност заради тези различни коефициенти пред двата члена тук. За да получим 1 отдясно, нека разделим всичко на 36. Този член става (х + 3)^2 по 9 върху 36, значи върху 4. Този член става (х + 3)^2 по... 9 върху 36, значи върху 4. После имаме (у – 1)^2 по... 4 върху 36, значи върху 9. После имаме (у – 1)^2 по... 4 върху 36, значи върху 9. Равно на едно. Това е стандартният вид на уравнението. Можем да потвърдим разсъжденията си от началото. Наистина това е елипса, и сега можем да я начертаем. Добро начало е да потърсим центъра ѝ. Той ще има координата х = –3. Това е стойността на х, за която целият този член е 0. Другата координата на центъра е у = 1. Това е стойността на у, за която другият член е 0. Центърът е в точката (–3; 1). Да го поставим на графиката. Центърът е във втори квадрант. Това са оста х и оста у. Центърът на елипсата е в –3 и +1, значи тук. Сега, колко е хоризонталната полуос? Просто взимаме квадратния корен на това, значи е 2. В хоризонтална посока отиваме с по две единици надясно и наляво. Какво имаме във вертикална посока? Отиваме с по 3 единици нагоре и надолу. 3 е квадратния корен от този знаменател. Нека го отбележа. Отиваме с 1, 2, 3 нагоре и с 3 надолу. Запомни, че са ни нужни квадратните корени на тези две числа. Вертикалната отсечка е голямата полуос на нашата елипса, защото с дължина 3 е по-голямата от двете полуоси. Малката полуос има дължина 2. Вече сме готови да начертаем елипсата. Ще я начертая в кафяво. Опитвам се да начертая точна елипса. Графиката прилича на това. Готови сме. Имахме това странно изглеждащо уравнение и го преобразувахме алгебрично. Просто допълнихме до квадрати полиномите с х и у. После разделихме двете страни с числото отдясно И получихме стандартното уравнение. Видяхме, че то е на елипса. И двата члена са положителни, тъй като е сбор, а не разлика. Имаме различни коефициенти пред тях. Значи сме готови да работим с елипсата. Намерихме центъра в (–3; 1) и начертахме голямата и малката полуос. Ще се видим в следващото видео!