Обща допирателна на окръжност и хипербола (2 от 5)

След като вече си представихме визуално общата допирателна с положителен наклон, нека да намерим някои условия за нея: особено за наклона и за точката на пресичане с оста у. Тук в лилаво е допирателната, която начертах в предишното видео. Нейното уравнение е от вида y = mx + b. Това е уравнение на права, където m е наклонът, а b - точката на пресичане с оста у. Сега да помислим какви зависимости ще има за m и b, за да бъде допирателна към окръжността. Може да се изкушиш да използваш висша математика, за да намериш наклона на всяка точка от окръжността, но има и по-лесен начин. Достатъчно информация ни дава и фактът, че допирателната има само една обща точка с окръжността. Нека покажа какво имам предвид. Това е правата. Искам да разбера къде съвпадат тези две уравнения. Над това ще се съсредоточа в това видео. После ще направим същото и за хиперболата. Имаме уравнението на правата: y = mx + b. Уравнението на окръжността е дадено тук горе: х^2 + у^2 – 8х = 0. Можем да заменим у със стойността му от уравнението на правата. Така ще намерим условие за m и b, при което да имаме точно едно решение на уравнението, т.е. двете графики се пресичат точно в една точка. За да го направим, нека заместим у^2 . у е равно на това и нека да го повдигнем на квадрат. Получаваме у^2 равно на квадрата на израза отдясно, или m^2х^2 + 2mbx + b^2. Това е квадратът на този израз. Сега можем да заместим всичко това на мястото на у^2. Сега имаме уравнение за х в точката на допиране: х^2 плюс всичко това, което е у^2: m^2х^2 + 2mbx + b^2 – 8х = 0. Нека го преработим като квадратно уравнение за х. Това са двата члена с х^2. Да изнесем х^2 извън скоби. Става (m^2 + 1) по х^2. Членовете с х на първа степен са тези. Добавяме (2mb – 8) по х. И ни остава само константата b^2. Това ще напиша в оранжево. Значи плюс b^2 равно на 0. Aко знаехме m и b, тоест ако имахме точното уравнение на допирателната, то това щеше да е обикновено квадратно уравнение и можеше да използваме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение, за да намерим стойностите на х в пресечните точки. Но хубавото е, че не е нужно да намираме самите корени, а само зависимостта за m и b, за която графиките се пресичат в точно една точка. Да си припомним формулата за корените на квадратно уравнение: минус b +/– квадратния корен от b^2 – 4ac, всичко това върху 2а. И не бъркай това b тук с коефициента на допирателната, който също означихме с b. Това е само общата формула за корените на квадратно уравнение. За да има точно едно решение, този израз под корена трябва да е 0. Така и да добавим, и да извадим 0, ще получим само едно решение. Когато правата е допирателна до окръжността, общата точка между тях е точно една. Друг начин да кажем това е долното уравнение да има точно едно решение. Някоя друга права, която не е допирателна, би пресякла окръжността така. В този случай уравнението щеше да има две решения, с положителен израз под корена. Или нямаше да има решения при такава непресичаща права. Тогава изразът под корена щеше да е отрицателно число. При нас правата е допирателна, значи имаме точно един корен и b^2 – 4ac = 0. Каква е стойността на този израз при нас? Tук b е в смисъла на коефициента пред х от квадратното уравнение Да не го бъркаме с коефициента b от уравнението на допирателната. Тук просто използваме стандартните означения на квадратната формула. Затова нека заместим стойностите. Да вземем този квадрат. Ще преработя това уравнение и ще го задам да е равно на 0, защото знаем, че имаме точно едно решение. Имаме (2mb – 8)^2 – 4а, което заместваме с (m^2 + 1), умножено по b^2. Това всичко ще бъде равно на 0, за да бъде нашата права допирателна. Да видим какво интересно можем да направим тук. Можем да изразим b като функция на m. Tова е добро начало. Да го направим. Ако разпишем този квадрат, става 4m^2... Ще използвам същото синьо, за да виждаш кой израз преработвам. Тази част тук става 4m^2 по b^2, минус 2 по 8, това е –16, по 2mb, става –32mb, плюс квадрата на 8, значи плюс 64. Това е изразът в синьо след разкриване на скобите. Мога да продължа да преработвам. –4 по m^2 по b^2, –4 по b^2 равно на 0. За наш късмет, някои от събираемите се съкращават. Тук имаме 4m^2b^2. А тук е –4m^2b^2. Да видим. Можем да разделим двете страни на уравнението на 4. Получава се –8mb + 16 – b^2 равно на 0. Сега можем да го решим за b с променлива m. Пак използваме формулата за квадратно уравнение. Така вече получаваме една зависимост, която ни казва коя е точката на пресичане на оста у (b) при определена стойност на наклона (m). После ще можем да направим това и за хиперболата. Тогава ще можем да заключим, че след като двете зависимости се отнасят за една и съща права, то и стойностите на b ще са равни. От последното ще можем да намерим наклона. Сега нека намерим зависимостта. Останалото ще видиш в следващите видеа. Нека първо преработя уравнението в познат вид. Първо да умножа двете страни по –1. Става b^2 + 8mb – 16 = 0. Просто умножих по –1 и разместих членовете. Да намерим корените b при променлива m. b e равно на –8m +/– квадратен корен от втория коефициент на квадрат значи (8m)^2 минус 4 по първия коефициент, той е просто 1, по последния: –16. Това става плюс 4 по плюс 16. Всичко това върху 2 по коефициента пред b^2. Той е 1, значи делим само на 2. Това е равно на –8 плюс или минус корен от (64m^2 + 64). Можем да изнесем 64 пред скоби. Квадратен корен от 64 е 8. Става 8 по квадратен корен от (m^2 + 1). Aко искахме да внесем това 8 под корена, щяхме да го повдигнем на втора и да стане 64 умножено по m^2 + 64, също както тук, значи е вярно. Всичко това върху 2. Можем да го опростим. Това е равно на –4m плюс или минус 4 по квадратен корен от (m^2 + 1). Това са възможните стойности на b, за да бъде правата допирателна до окръжността. Да помислим малко за това. Да видим какво ще стане, ако тук изберем да събираме. Като погледнем моя чертеж на правата, искаме тя да е с положителен наклон. Също така в точката на пресичане с оста у има положителна стойност. Да го напиша така. Това тук е b, и то е положително. Искаме тази стойност да бъде положителна. m също ще бъде положително, тъй като в условието на задачата се търси права с положителен наклон. Затова m е положително. Умножено по –4, прави отрицателно число. Единственият начин на получим положителен израз е да добавим 4 по този израз. И наистина, сборът ще е положителен, защото коренуваме по-голямо число от m^2. Значи и квадратният корен ще е по-голям от m. 4 по корена ще е по-голямо от 4 по m. Kaто го съберем с –4m, сборът ще е положителен. Значи оставяме само b = –4m + 4 по корена на (m^2 + 1). Дотук сме с това видео. В следващото видео ще направим същото нещо и за хиперболата, като знаем, че има точно една обща точка с допирателната. И тъй като допирателната е същата като за окръжността тук, знаем, че получените стойности на b трябва да са равни. В следващото видео ще получим b като друга функция от m. След това ще можем да приравним двете стойности на b и да намерим нашето m. Когато имаме стойност на m, ще я заместим тук, за да намерим и b. Taка ще намерим уравнението на допирателната.