Обща допирателна на окръжност и хипербола (3 от 5)

В това видео ще направим с хиперболата същото, което направихме с окръжността в предишното. Ще намерим зависимост между точката на пресичане с Оу на допирателната и члена m. Но този път ще използваме хиперболата. После ще можем да приравним двата израза за b и да намерим m. Да си припомним уравнението на нашата хипербола. То ни е дадено тук. То е х^2/9 – у^2/4 = 1. Нека го напиша и тук. Имам х^2/9 – у^2/4 = 1. Сега мога да заместя у^2 със стойността му от уравнението на допирателната, която намерих в предишното видео. Там изчислихме квадрата на у: целият този израз тук. Защото това е същата допирателна. Не забравяй, в това е смисълът тук. Опитваме да намерим две зависимости за една и съща права. Така ще можем да напишем същото нещо. Сега ще умножа двете страни на уравнението по най-малкото общо кратно на 9 и 4, това е 36. Така ще се отърва от дробите. Това ще стане 36 делено на 9, значи 4 по х^2 минус, 36 делено на 4 е 9, и ще поставя тук у^2 , което знаем, че е същото като този израз тук. което знаем, че е същото като този израз тук. Значи, по m^2х^2 + 2mbx + b^2. Това ще е равно на... не забравяй, умножихме и двете страни на уравнението по 36. И това ще е равно на 36. И нека го опростя. После ще направим същото, както при окръжността. Знаем, че m и b трябва да са такива, че изразената чрез тях допирателна да има точно една обща точка с хиперболата. Toва уравнение ще има само един корен х. Но нека първо го опростим. То е еквивалентно на 4х^2 – 9m^2х^2 – 18mbx – 9b^2, просто разписах тези скоби, и нека да извадя 36 от двете страни, минус 36 равно на 0. Това е квадратно уравнение за х. Нека да комбинирам членовете по тяхната степен. Това са членовете с х^2. Те правят (4 – 9 m^2) по х^2. Единственият член с х на първа е този: –18 mbx. Останаха константите: –9b^2 – 36. Равно на 0. Ако търсехме х, можехме да използваме формулата за намиране на корените на квадратното уравнение. Но искаме само да видим кога има едно решение. Затова търсим само дискриминантата да е равна на 0. В общия запис, b^2 – 4ас = 0. Точно както в предишното видео. Да намерим b^2 – 4ас и да го приравним на нула, за да намерим зависимост между b и m. b^2 е квадратът от коефициента пред х, не се бъркай с нашето означение на b. Повдигаме на квадрат този коефициент, 18^2 по m^2 по b^2. Минусът изчезва при степенуването. Имаме и минус 4ас, а е (4 – 9m^2), по с, което да запиша като –9 по (b^2 + 4). Да проверя: –9b^2 е –9b^2, –9 по 4 е –36. Да сме сигурни, че не правим грешки от невнимание. Това се опростява, да умножим –9 и –4, става плюс 36. Можем да опростим още, за да не изчисляваме с големи числа: да извадим общ множител от 18 на квадрат тук, за да не го мислим много, ще го разложа така: 18 на квадрат е 2 по 9 по 2 по 9, или 4 по 9 по 9. Това е същото като 18 на квадрат. 4 по 9 по 9. Сега можем да разделим цялото уравнение, да не забравя равно на нула, искам дискриминантата да е равна на нула. Можем да разделим всичко на 36, което е да разделим на 4 по 9. В първия член ще се отървем от едно 4 и от едно 9. Остава 9m^2b^2. От втория член цялото 36 се маха. Остават тези два множителя. Нека ги умножим. Имаме 4b^2, добавям го, нека е в друг цвят, например в синьо. После имам 4 по 4, значи плюс 16. После –9m^2b^2. И накрая –9m^2 по 4, което прави –36m^2. Ще е равно на 0. За наш късмет, тези двете се съкращават. Това, което остава, се дели на 4. Да разделим всичко на 4. Остава b^2, този член, –9m^2, това дойде оттук, просто разделих на 4. Плюс 4 равно на 0. Тук вече няма какво да правим, нямаме нужда от формулата за корените на квадратно уравнение. Можем веднага да намерим b. Изваждаме свободния член от двете страни. Получава се b^2 = корен квадратен от 9m^2 – 4. Извинявам се, тук няма квадратен корен. Всъщност тук се получава b^2 = 9m^2 – 4. В момента боядисват стаята, и може би съм малко замаян от това. Тогава b ще е равно на корен квадратен от (9m^2 – 4). Получава ли се? Да видим. Имам 4 тук. Да, изглежда добре. В нашата ситуация правата е допирателна до хиперболата и ако също е допирателна и до окръжността то b трябва да е равно на този израз, който намерихме в предишното видео. Нека го копирам. Тук имаме две уравнения с две неизвестни. Можем да ги приравним и да ги решим за m. Това ще ни даде наклона на допирателната. И след това ще можем да намерим и b. Ще направим това в следващото видео.