Обща допирателна на окръжност и хипербола (4 от 5)

Вече сме на финалната права. Намерихме зависимости между коефициентите b и m от уравнението на общата допирателна до окръжността и до хиперболата. Искам да направя едно уточнение. В предишното видео тук използвах положителния корен от двете възможни стойности, за да бъде положителна стойността на b. Припомни си графиката, която направих в първото видео: Пресечната точка на правата и оста у трябва да има положителна стойност, за да има положителен наклон и да допира едновременно и окръжността, и хиперболата. Затова тук определено искаме да вземем положителния корен. Като уточнихме това, зависимостта за хиперболата е тази, а това е зависимостта от окръжността. Нека да ги направим равни една на друга, за да намерим наклона на допирателната, или m. Правим ново уравнение от тях: корен квадратен от (9m^2 – 4) = –4m + 4 по корен квадратен от (m^2 + 1). Най-напред да повдигнем двете страни на квадрат. Получаваме 9m^2 – 4 равно на квадрата на това. Той е 16m^2 плюс два пъти по произведението на тези два члена: произведението е –16 по 2, –32m по квадратен корен от (m^2 + 1) и последният квадрат, плюс 16(m^2 + 1). Нека опростим малко. Да преместим корена от едната страна на уравнението. Да помислим как още можем да опростим уравнението. Можем да започнем така: разкриваме скобите тук и става 16m^2 + 16. Отляво имаме 9m^2 – 4 равно на какво имаме отдясно, 16m^2 на две места, 16 + 16 = 32, 32m^2 плюс 16, минус 32m по корен от (m^2 + 1). Да видим. Можем да извадим 9m^2 от двете страни. Добавяме и 4 към двете страни. Ще го направя наобратно, защото искам да оставя това само отдясно. Да го направя наобратно. Изваждам 32m^2 от двете страни. И по другия начин може, но избирам така. Значи вадя този член от тук и от тук, после ще извадя и 16 от двете страни. Отляво става, 9 – 32 = –23, значи –23m^2 –4 – 16, значи –20. Равно на –32m по квадратен корен от (m^2 + 1). Сега можем да повдигнем двете страни на квадрат. Това не е най-красивата задача на света, но се надявам да не съм допуснал грешки и да стигнем до нещо полезно. Всъщност, нека първо умножим по –1, за да премахнем минусите. Тук става плюс, и тук, и тук. Повдигаме лявата страна на квадрат. Става 23 на втора, да го напиша така, 23m^2, цялото на квадрат, плюс 2 пъти произведението, 2 по 20 по 23m^2, плюс 20 на квадрат или 400. равно на 32m, цялото на квадрат, по (m^2 + 1). Да видим какво можем да направим. Това е просто голяма изчислителна задача. Оставям първия член така, 23m^2, цялото на квадрат, плюс, това тук е 40, плюс 40 по 23, 23 по 4 е 92, значи става плюс 920m^2. Нека изчисля всичко тук. Вече отиваме директно до числата, затова: 23 на квадрат. 3 по 3 е 9. 3 по 2 е 6. 69, и минаваме към десятките с 0. 2 по 3 е 6 . 2 по 2 е 4. Имам 9 единици, 6 + 6 е 12, 1 + 4 е 5. Имаме 529m^4 плюс 40 по 23: 4 по 20 е 80, 4 по 23 е 92. Значи става 920m^2 плюс 400 равно на: да намеря 32 на квадрат. 32 по 32. Изглежда ако полагаш този изпит, ще ти трябва да запомниш таблицата за умножение поне до 50. Мисля си, че го правят нарочно. Колкото да си представиш за какво става въпрос, на този изпит не се очаква никой да реши всичко. Мисля, че най-добрият резултат в Индия беше някъде около 80%, което е впечатляващо. Невероятно е само за час да се мине математическата част на 80% вярно. Но мисля, че прагът за прием в институтите с високи критерии е около 40 или 50%. Може да не съм запомнил добре, но е някъде там. И трябва да имат толкова труден тест, защото в Индия го полагат 200 или 300 хиляди души. И трябва да са сигурни, че резултатите са добре разпределени. Правят го, за да разпределят хората. Значи тук имаме 2 по 2 = 4, 2 по 3 = 6, и после 0 тук, 3 по 2 е 6, 3 по 3 е 9, Ако аз например щях да полагам изпита, колкото и да мразя да запомням неща, ако трябваше да решавам такива задачи за около 5 минути, щях да искам да запомня някои от тези неща предварително. Точката на пресичане с оста у за права, пресичаща хипербола, за права, пресичаща окръжност, такива неща. По принцип не мисля, че запомнянето ни помага в живота. Защото, когато решаваш математически задачи в живота си, те интересува всъщност да разбираш смисъла им. В живота си би имал достатъчно време за това. Тези изпити са при изкуствени обстоятелства. Да се върна на задачата: 4 + 0 = 4, 6 + 6 = 12 И произведението е 1024. Тук разкривам тези скоби. Това е 1024m^4 + 1024m^2. Доближаваме финала. Да извадим 529m^4 от двете страни. Минус 529m^4... трябва да съм много внимателен. Честно казано, ако просто искаш да я решиш за бързина, щеше да е по-добре просто да изпробваш възможните отговори, и да видиш кои от дадените стойности отговарят на уравнението. Най-бързо ще е да видиш кои m отговарят. Но нека продължим с решението. –529m^4 плюс Искаме да извадим също и 920m^2. Правим и това от двете страни. Отляво оставаме само с това 400, нека извадим и него, за да получим чисто квадратно уравнение. Ще го извадим и от тук. От лявата страна остава нула. Равно на, 1024 – 529, да видим. 1024 минус 524 щеше да е 500, тук ще е с 5 по-малко, значи 495 по m^4. Правилно ли пресметнах? 1024 минус 524 щеше да е 500, но всъщност вадя с 5 повече от това, и получавам 495. Следва 1024 минус 920, това е 80 + 24, значи плюс 104m^2 – 400 = 0. Вече тук имаме обикновено квадратно уравнение. Може и да не го разпознаваш веднага, но е такова. m^4 е същото като квадрат от m^2. Нека го решим. Търсим m^2. Това ще е х в случая. Ще получим m^2 чрез формулата за корените на квадратното уравнение. Може да заместиш с x = m^2, за да ти е по-лесно. Тогава ще стане обикновеното квадратно уравнение. m^2 е равно на –b, в случая –104, плюс или минус корен квадратен от, това ще е забавно без калкулатор, 104 на квадрат –4 по а, което е 495, по с, което е –400. Това ще стане плюс. И тук имаме 400, и всичко това върху 2 по 495. Колко е 2 по 495? То е с 10 по-малко от 1000, значи ще е 990. Да опитаме да го пресметнем. Ще спра дотук с това видео, защото вече надхвърли 10 минути. В следващото видео просто ще направим пресмятанията В следващото видео просто ще направим пресмятанията Така ще намерим стойността на m.