Основно съдържание

11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 1 Геометрия

Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 1 Геометрия > Раздел 2

Урок 1: Координати на вектор в равнинна правоъгълна координатна система

Преобразуване на вектори от компонентна форма в дължина и посока (обобщение)

Виж обобщение на това как определяме дължината и посоката на вектор, който ни е даден в компонентна форма, и обратно.

Обобщение на метода за работа

Намиране дължина на вектор чрез компонентите му

Дължината на вектор left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis е vertical bar, vertical bar, left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis, vertical bar, vertical bar, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root.

Определяне на посоката на вектор чрез компонентите му

Ъгълът на посоката на вектор left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis е theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis плюс съответната корекция за квадранта, в който се намира векторът, която можеш да видиш в следната таблица:

Квадрант	Корекция
Q1	t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Q2	t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, 180, degree
Q3	t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, 180, degree
Q4	t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, 360, degree

Определяне на компонентите на вектор при дадени неговите дължина и посока

Компонентите на вектор с дължина vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar и посока theta са: left parenthesis, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, ;, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis.

Какво са дължина и посока на вектор?

Свикнали сме да представяме векторите в тяхната компонентна форма. Например вектора left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis. Можем да начертаем вектори в координатната система, като начертаем насочена отсечка от началото ѝ до точката с координати компонентите на вектора:

Като разгледаме чертежа, виждаме, че има и друг начин да опишем еднозначно векторите: чрез тяхната start color #11accd, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, end text, end color #11accd и start color #1fab54, start text, п, о, с, о, к, а, end text, end color #1fab54:

start color #11accd, start text, Д, ъ, л, ж, и, н, а, т, а, end text, end color #11accd на един вектор е дължината на отсечката, докато start color #1fab54, start text, п, о, с, о, к, а, т, а, end text, end color #1fab54 е ъгълът между нея и положителната посока на оста x.

Дължината на вектора v, with, vector, on top обикновено се записва като vertical bar, vertical bar, v, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.

Искаш ли да научиш повече за дължина на вектори? Виж това видео.
Искаш ли да научиш повече за посока на вектори? Виж това видео.

Поредица упражнения 1: Определяне на дължина на вектор при дадени неговите компоненти

За да намерим дължината на вектора от неговите компоненти, взимаме квадратния корен от сумата на квадратите на компонентите (това е директно следствие от питагоровата теорема).

vertical bar, vertical bar, left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis, vertical bar, vertical bar, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root

Например дължината на вектора left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis е square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.

Задача 1.1

Електричен ток

u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 1, ;, 7, right parenthesis

vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals

Въведи отговора със знак за квадратен корен или като десетична дроб, закръглена до най-близката стотна.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Поредица упражнения 2: Определяне на посоката на вектор при дадени компоненти на вектора

За да намерим посоката на вектор от неговите компоненти, взимаме реципрочното на частното на компонентите:

theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis

Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от вектора и оста x.

Пример 1: Квадрант start text, I, end text

Нека намерим посоката на вектора left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis:

t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Пример 2: Квадрант start text, I, V, end text

Нека намерим посоката на вектора left parenthesis, 3, ;, minus, 4, right parenthesis:

t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, minus, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees

Калкулаторът показва отрицателен ъгъл, но е прието да ползваме положителни числа за посоките на векторите. Затова просто добавяме 360, degrees:

minus, 53, degrees, plus, 360, degrees, equals, 307, degrees

Пример 3: Квадрант start text, I, I, end text

Нека намерим посоката на вектора left parenthesis, minus, 3, ;, 4, right parenthesis. Най-напред забележи, че векторът left parenthesis, minus, 3, ;, 4, right parenthesis се намира в квадрант start text, I, I, end text.

t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, minus, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees

minus, 53, degrees е в квадрант start text, I, V, end text, а не в start text, I, I, end text. Трябва да добавим 180, degrees, за да получим срещуположния ъгъл:

minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees

Задача 2.1

Електричен ток

u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 5, ;, 8, right parenthesis

theta, equals

degrees
Въведи отговора си като ъгъл в градуси между 0, degrees и 360, degrees, закръглен до най-близката стотна.

Искаш ли да опиташ и други подобни задачи? Виж това упражнение.

Поредица упражнения 3: Определяне на компонентите на вектор при дадени дължина и посока

За да намерим компонентите на вектор, когато са дадени неговата дължина и посока, умножаваме дължината по синуса или косинуса на ъгъла:

u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, ;, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis

Например това е компонентната форма на вектора с дължина start color #11accd, 2, end color #11accd и ъгъл start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54:

left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, ;, start color #11accd, 2, end color #11accd, sine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 3, end square root, ;, 1, right parenthesis

Задача 3.1

Електричен ток

u, with, vector, on top, approximately equals, left parenthesis, space

space, ;

right parenthesis
Закръгли крайния си отговор до най-близката стотна.

Искаш ли да пробваш още задачи като тази? Виж този пример.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.