If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 1 Геометрия

Раздел 2: Урок 1

Координати на вектор в равнинна правоъгълна координатна система

Преобразуване на вектори от компонентна форма в дължина и посока (обобщение)

Виж обобщение на това как определяме дължината и посоката на вектор, който ни е даден в компонентна форма, и обратно.

Обобщение на метода за работа

Намиране дължина на вектор чрез компонентите му

Дължината на вектор left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis е vertical bar, vertical bar, left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis, vertical bar, vertical bar, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root.

Определяне на посоката на вектор чрез компонентите му

Ъгълът на посоката на вектор left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis е theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis плюс съответната корекция за квадранта, в който се намира векторът, която можеш да видиш в следната таблица:
КвадрантКорекция
Q1t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Q2t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, 180, degree
Q3t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, 180, degree
Q4t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, 360, degree

Определяне на компонентите на вектор при дадени неговите дължина и посока

Компонентите на вектор с дължина vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar и посока theta са: left parenthesis, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, ;, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis.

Какво са дължина и посока на вектор?

Свикнали сме да представяме векторите в тяхната компонентна форма. Например вектора left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis. Можем да начертаем вектори в координатната система, като начертаем насочена отсечка от началото ѝ до точката с координати компонентите на вектора:
Като разгледаме чертежа, виждаме, че има и друг начин да опишем еднозначно векторите: чрез тяхната start color #11accd, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, end text, end color #11accd и start color #1fab54, start text, п, о, с, о, к, а, end text, end color #1fab54:
start color #11accd, start text, Д, ъ, л, ж, и, н, а, т, а, end text, end color #11accd на един вектор е дължината на отсечката, докато start color #1fab54, start text, п, о, с, о, к, а, т, а, end text, end color #1fab54 е ъгълът между нея и положителната посока на оста x.
Дължината на вектора v, with, vector, on top обикновено се записва като vertical bar, vertical bar, v, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.
Искаш ли да научиш повече за дължина на вектори? Виж това видео.
Искаш ли да научиш повече за посока на вектори? Виж това видео.

Поредица упражнения 1: Определяне на дължина на вектор при дадени неговите компоненти

За да намерим дължината на вектора от неговите компоненти, взимаме квадратния корен от сумата на квадратите на компонентите (това е директно следствие от питагоровата теорема).
vertical bar, vertical bar, left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis, vertical bar, vertical bar, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Например дължината на вектора left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis е square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Задача 1.1
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 1, ;, 7, right parenthesis
vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals

Въведи отговора със знак за квадратен корен или като десетична дроб, закръглена до най-близката стотна.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Поредица упражнения 2: Определяне на посоката на вектор при дадени компоненти на вектора

За да намерим посоката на вектор от неговите компоненти, взимаме реципрочното на частното на компонентите:
theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от вектора и оста x.

Пример 1: Квадрант start text, I, end text

Нека намерим посоката на вектора left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis:
t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Пример 2: Квадрант start text, I, V, end text

Нека намерим посоката на вектора left parenthesis, 3, ;, minus, 4, right parenthesis:
t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, minus, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
Калкулаторът показва отрицателен ъгъл, но е прието да ползваме положителни числа за посоките на векторите. Затова просто добавяме 360, degrees:
minus, 53, degrees, plus, 360, degrees, equals, 307, degrees

Пример 3: Квадрант start text, I, I, end text

Нека намерим посоката на вектора left parenthesis, minus, 3, ;, 4, right parenthesis. Най-напред забележи, че векторът left parenthesis, minus, 3, ;, 4, right parenthesis се намира в квадрант start text, I, I, end text.
t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, minus, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
minus, 53, degrees е в квадрант start text, I, V, end text, а не в start text, I, I, end text. Трябва да добавим 180, degrees, за да получим срещуположния ъгъл:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Задача 2.1
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 5, ;, 8, right parenthesis
theta, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Въведи отговора си като ъгъл в градуси между 0, degrees и 360, degrees, закръглен до най-близката стотна.

Искаш ли да опиташ и други подобни задачи? Виж това упражнение.

Поредица упражнения 3: Определяне на компонентите на вектор при дадени дължина и посока

За да намерим компонентите на вектор, когато са дадени неговата дължина и посока, умножаваме дължината по синуса или косинуса на ъгъла:
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, ;, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от вектора и оста x.
Например това е компонентната форма на вектора с дължина start color #11accd, 2, end color #11accd и ъгъл start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54:
left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, ;, start color #11accd, 2, end color #11accd, sine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 3, end square root, ;, 1, right parenthesis
Задача 3.1
u, with, vector, on top, approximately equals, left parenthesis, space
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
space, ;
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Закръгли крайния си отговор до най-близката стотна.

Искаш ли да пробваш още задачи като тази? Виж този пример.