If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 1 Геометрия > Раздел 2

Урок 3: Умножение на вектори с число. Смесени действия с вектори. Текстови задачи

Текстова задача с вектори: туристически поход

Сал решава текстова задача с вектори, където намира общото разстояние по права линия, пропътувано за няколко дни. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Преди три дни Кийта тръгва от базовия лагер на пътешествие през джунглата. Пътешествието от три дни може да се опише чрез вектори на преместването (с разстояние и посока), където преместването се описва от разстояние с дадена посока, това са векторите d1, d2, и d3. Описани са тук. Разстоянията са дадени в километри. Колко далече от лагера е Кийта на края на третия ден? Да помислим. Това е неговата начална точка. През първия ден стига до тук. Също така виждаме и посоката. Ще начертая компас. Насам е север, изток, запад и юг. Можем да разложим вектора на преместването като колко е изминал в източна и колко в северна посока. Даденото ни показва, че е изминал 7 в източна посока. Тук имаме 7 мерни единици по хоризонталата. В северна посока е изминал 8. Отбелязваме и вертикалната компонента. Ето така. Това е 7, а това 8. През втория ден изминава 6 мерни единици, те отговарят на километри, значи 6 километра на изток. Отмервам 6 единици. В северна посока е изминал 2 километра. Пристига ето тук. И накрая, през третия ден източната компонента на преместването му е 2 километра, а северната компонента е 9 километра. За да намерим колко далеч от лагера се намира на края на третия ден, трябва да пресметнем общото му преместване. Колко е големината на вектора, който е сбор от тези три? Търсим големината на този вектор. Ще го обознача като d(t), t идва от тотално (общ сбор). Това е общото преместване. Виждаш на чертежа, че нашият вектор на общото преместване е равен на сбора от тези три вектора: d1 + d2 + d3. За да съберем тези три вектора, можем просто да съберем техните съответни компоненти. Общото преместване по хоризонталата е равно на сбора от хоризонталните компоненти, което са преместванията в източна посока. Общо на изток имаме 7 + 6 + 2. В северна посока имаме общо 8 + 2 + 9. Векторът на общото преместване може да се запише в такава форма: Тук имаме 7 + 6 = 13, + 2, 15 в източна посока, или източната компонента на преместването е 15; в северна посока имаме 19. Това е този вектор. Неговата източна компонента е 15, а северната е 19. Нека изясня това. Това разстояние, или ако говорим за този триъгълник, дължината на този катет е 19, това е общото преместване в северна посока, а общото преместване в източна посока е 15. Търсим дължината на хипотенузата, която е големината на вектора на общото преместване. За да я намерим ще използваме теоремата на Питагор. Това е правоъгълен триъгълник. 15 на квадрат + 19 на квадрат е равно на квадрата от търсената големина. Големината е равна на квадратен корен от 15 на квадрат + 19 на квадрат. Ще използвам калкулатора. Имам корен квадратен от 15 на квадрат + 19 на квадрат, това е 24 и още, да видим, търси се с точност до десети, това е 24,2. Разстоянието е 24,2 километра по права линия. Пита се също и в каква посока спрямо лагера се намира след третия ден. Трябва да я намерим с точност до градуси. Отговорът трябва да е между 0 и 180 градуса. Тук предполагам, че имат предвид най-честото определение за посока. Условието трябва да е по-прецизно като описва какво се търси, за да няма място за съмнения. Обикновено посоката на вектор се дава като ъгъла спрямо положителната посока на оста х. В нашия случай това е спрямо източната посока. Това е този ъгъл тук. Ще го нарека тета. Как да намерим тета? Той е ъгъл в нашия правоъгълен триъгълник. Знаем дължината на този катет, той е 19. Знаем дължината и на другия катет, 15. Значи знаем срещулежащия спрямо тета катет и прилежащия му катет. Коя тригонометрична функция е тяхното отношение? Тангенс. Да запишем колко е тангенс от тета. Равно е на 19/15. Това е срещулежащ върху прилежащ катет. За да намерим ъгъл тета, можем да се убедим дали обратният тангенс е търсеният от нас ъгъл. По определение обратният тангенс ще даде ъгъл между минус Пи върху 2 и Пи върху 2, ако мислим в радиани, но тук търсеното е в градуси, затова ще мислим в тях: между -90 и 90 градуса. Този ъгъл определено е в тези граници. Дори е между 0 и 90 градуса. Като вземем обратния тангенс вече знаем, че ще получим правилния ъгъл. Иначе щеше да ни се наложи да правим компенсации. Тета е равен на обратния тангенс от 19/15. Ще използвам калкулатора да го пресметна. Проверявам дали е настроен в режим на градуси и взимам обратния тангенс от 19/15. Това е равно на тази десетична дроб. Търси се закръглена до градуси, значи отговорът ни е 52 градуса. 52 градуса изглежда добре и на чертежа. Ъгълът изглежда малко повече от 45 градуса, на което 52 градуса не противоречи. Готови сме със задачата.