Текстова задача за вектори: дърпане на въже

Три отбора: А, B и С играят на дърпане на въже. Всеки отбор завързва въже към общ метален пръстен и се стреми да издърпа пръстена към своето поле. По-долу са показани полетата на отборите. Нека да видим. Отборът А дърпа наляво към лилавото поле. Отборът В дърпа в тази посока, към синьото, а отборът С дърпа към зеленото поле. Всеки от тях се стреми да издърпа пръстена до своето поле, играта е трипосочно дърпане на въже. Дадено ни е, че отборът А дърпа със сила векторът а: 4 по единичния вектор i плюс 0 по j. 4 по хоризонталната и няма вертикална компонента. Посоката е направо по положителната посока на оста х. Виждаме го и на чертежа. А дърпат в хоризонтална посока, силата им е произведение само на единичния вектор i. Отборът В дърпа със сила –2 по i плюс 4 по j, това е в посока наляво и нагоре. Виждаме тук –2 по i плюс 4 по j. Векторът на силата на отбор С е –3 по i минус 3 по j. Да видим тук, -3 по i минус 3 по j. Не противоречи на чертежа. Силите са дадени в единицата килонютон. Пита се кой отбор ще спечели? Преведи си въпроса кой ще спечели играта като кой отбор дърпа с по-голяма големина на силата в своята посока Сега да помислим за големините на всеки от тези вектори. Най-напред за вектора а, колко е неговата големина? Той е 4 по единичния вектор i, значи големината му е 4. Защото единичният вектор има големина 1 и големината на а е 4 по това, което е равно на 4. Да сложим и мерната единица, 4 килонютона. Ами големината на вектора b? Можем да използваме теоремата на Питагор. Векторът е –2i + 4j. Големината му на квадрат е равна на сбора от квадратите на –2 и 4. Това е приложение на теоремата на Питагор. Големината на вектора b е корен квадратен от (–2) на квадрат + 4 на квадрат. Това е и формула на разстоянието между координатното начало и края на вектора. Под корена имаме 4 + 16, големината е корен от 20. Да видим, това определено е повече от 4, тъй като 4 на квадрат е само 16. Това е някъде между 4 и 5. Накрая, големината на вектора с по същата логика е равна на корен от (–3) на квадрат плюс (–3) на квадрат. Това е корен от 9 + 9, корен от 18. Големината е корен от 18. Определено корен от 20 е повече от корен от 18. Вече намерихме, че корен от 20 е повече и от 4. Значи отбор В ще спечели. Имахме въпрос кой отбор ще спечели играта. Видяхме, че победител е отбор В. Можем да попълним отговора. Следващият въпрос е Каква е големината на общата сила, която отборите прилагат върху пръстена? За да я намерим, можем да съберем трите вектора. Нека го разпишем. Общата сила е вектор, който е сбор от векторите а, b и c. Той е равен на 4i + 0j минус 2i + 4j минус 3i – 3j. Можем да групираме елементите с i и с j. Имаме 4i – 2i – 3i, да пресметнем в скобите, 4 – 2 – 3 става –1, значи за i остава –1 по i или мога да напиша просто –i. После имаме 0j + 4j – 3j, това е 0 + 4 – 3 = 1, става 1 по j или просто плюс j. общият вектор е –i + j. Да видим как изглежда. минус i плюс j става такъв вектор. Ще направя по-голям чертеж тук. Първо чертая координатна система. Това е оста у и оста х. Имам минус едно по i, това изглежда така. Това е -i. Tози единичен вектор. Отбелязвам го: -i. Имам да добавя +j към него. Единичният вектор j е такъв. И двата вектора са с големина 1, това е единичният вектор j. Сборът на тези два вектора е общата сила. Тя е в такава посока, а големината ѝ е дължината на тази отсечка. На игралното поле всички общо дърпат в тази посока, която отива към полето на отбора В. Питат ни каква е големината на общата сила на отборите? Големината на тази страна е 1, това е единичен вектор с посока наляво. Големината на тази страна също е 1 и за да намерим големината на хипотенузата ще използваме теоремата на Питагор: хипотенузата е корен квадратен от 1 на квадрат + 1 на квадрат, което е корен от 2. Големината на вектора на общата сила на отборите е корен от 2. В каква посока ще издърпат пръстена? Нека първо попълня отговора, който вече намерихме. Каква е големината на общата сила, която отборите прилагат на пръстена? Закръгли до най-близката десета. Нека сметнем корен от 2. калкулаторът дава тази десетична дроб, закръглям я до 1,4 килонютона. В каква посока издърпват пръстена? Отговорът се търси в радиани. Закръглен до най-близката десета, отговорът трябва да е между 0 и Пи радиана. Връщаме се към чертежа. Трябва да намерим този ъгъл. Колко радиана е той. Знаем, че целият ъгъл от положителната посока на оста х до отрицателната посока на оста х е Пи радиана. Можем също да намерим и този ъгъл. Как да стане това? Забележи, че сме построили правоъгълен триъгълник, който също е и равнобедрен. Имаме равнобедрен правоъгълен триъгълник. Ъглите му винаги са 45, 45 и 90 градуса. Но тук мислим в радиани, а 45 градуса е 1/4 Пи радиана. Ъглите на триъгълника са 1/4 Пи, 1/4 Пи и 1/2 Пи радиана. Това е същото като 45, 45 и 90 градуса. Целият този ъгъл в лилаво е Пи радиана, а пък този е 1/4 от Пи радиана. Като извадим 1/4 Пи от Пи получваме търсения ъгъл тета. Тета е равен на Пи, или 4/4 Пи, минус 1/4 Пи. Така направих общ делител и получавам 3/4 Пи. Отговорът е 3/4 Пи радиана. Да се върнем тук. Искат да закръглим отговора до най-близката десета. Да сметнем Пи по 3/4. Искам да следиш какво правя тук. 3 по Пи делено на 4 е равно на 2,356. Закръглям до десетите, става 2,4 радиана. Отговорът е приблизително 2,4 радиана.