Още за линейната независимост

Мисля, че вече имаш добра представа какво означава линейна зависимост. Сега да дадем една малко по-формална дефиниция на линейната зависимост. Да кажем, че едно множество от вектори... Ще дефинирам нашето множество от вектори. Ще означа множеството вектори v1, v2 и така чак до vn. Ще кажа, че те са линейно зависими ако и само ако... (на български казваме "тогава и само тогава, когато..." Понякога се записва като if с много f (на англ.). Понякога се записва като "ако и само ако". А понякога се записва като стрелка в две посоки. Ако и само ако е удовлетворено това равенство, мога да намеря множество от константи с1 по v1, мога да взема линейна комбинация от моите вектори чак до cn по vn, която удовлетворява това равенство, което мога да създам, така че това да е равно на нулевия вектор. Понякога нулевият вектор се записва като удебелено 0, а понякога може да се запише... имам предвид, че ни е не знаем размерността на този вектор. Това са просто някакви нули. Но ние не знаем колко елемента има всеки от тези вектори, но разбираш какво означава това. Множеството от вектори е линейно зависимо – запомни, че казвам зависимо, не независимо – е линейно зависимо ако и само ако е удовлетворено това равенство за някакви константи ci, някои от които са различни от нула. Това е основното – не всички са нули. Мога да го формулирам и по различен начин. Може да се каже, че поне една не е нула. Как се свързва това твърдение с това, за което говорихме в предишното видео, където казах, че едно множество е линейно зависимо, ако един от векторите може да бъде представен като линейна комбинация на другите вектори? Ще го запиша. Преди казах, че един вектор може... ще го запиша така. Един вектор може да се представи чрез някои от другите вектори, ето така ще го запиша. Но мога да го запиша и малко по-математически. В последното видео казах, че линейна зависимост означава, че... ще избера един произволен вектор v1... Нека v1, разбираш, той е произволен, v1 може да се представи като някаква комбинация от другите вектори. Нека да го наречем а1 по v... трябва да внимавам – а2 по v2, плюс а3 по v3 плюс... и така чак до an по vn. Това казах в предишното видео. Ако тук има линейна зависимост, всеки от тези вектори може да се представи като някаква комбинация от другите. Как това предполага това? За да докажа, че това е вярно, ако и само ако, трябва да докажа, че това предполага това и трябва да докажа, че това предполага това. Това е почти тривиално доказателство. Защото, ако извадя v1 от двете страни на това равенство, ще получа, че 0 е равно на минус 1v1 плюс а2v2 + a3v3... и така чак до an vn. И аз, очевидно, току-що казах, че има линейна зависимост. Това означава, че мога да представя този вектор като сбор от другите вектори, което означава, че –1 по v1, плюс някаква комбинация от другите вектори е равно на нула, което означава, че е изпълнено това равенство, и поне една от константите не е нула. Така че ти показах, че, ако представя един от векторите като сума от другите вектори, тогава това условие определено ще е изпълнено. Сега да подходим по обратния начин. Да покажем, че ако имаме тази ситуация, тогава определено можем да представим един от векторите като сбор от другите. Да кажем, че това е изпълнено. Една от тези константи, спомни си, че не е само тази, поне една е различна от нула. Сега нека да допуснем, само за простота, Имам предвид, че всички тези константи са произволни. Ще взема нов цвят. Ще използвам цикламено. Да приемем, че с1 не е равно на нула. Ако с1 не е нула, тогава мога да разделя двете страни на равенството на с1. Какво ще получа? Получавам v1+ (с2/с1)v1 + чак до (cn/с1)vn е равно на 0. После мога да умножа двете страни по това, или мога да добавя –v1 към двете страни на равенството, или да извадя v1 от двете страни. Така получавам (c2/c1)v2 +...(cn/с1)vn, тук има vn, и това е равно на –v1. Сега, ако умножа двете страни на равенството по –1, ще получа минус и всичко тук става минуси, а това става плюс. Току-що ти показах, че ако поне една от тези константи не е нула, тогава мога да представя вектор v1 като някаква комбинация от другите вектори. Можем да го направим и по този начин.. Ако това условие е вярно, тогава мога да представя един от тези вектори като комбинация от другите. Ако мога да представя един от тези вектори като комбинация от другите, тогава това условие е вярно. Това доказва, че тези две определения са еквивалентни. Може би това е малко прекалено. Сега да приложим тази дефиниция, за да я проверим. Може да кажеш: "Сал, защо си правиш целия този труд?" Правя всичко това, защото това е всъщност много полезен начин за проверка дали векторите са линейно независими или зависими. Да го изпробваме. Да използваме този нов инструмент. Нека да имаме множество от вектори... Ще го направя тук горе. Искам да пестя мястото. Нека имаме множеството от вектори [2;1] и [3;2]. Искам да ми кажеш дали те са линейно независими или са линейно зависими. Ако са линейно зависими, това означава, че ако някаква константа е умножена по [2;1], и някаква константа е умножена по втория вектор [3;2], тогава това трябва да равно на нула. Но тези два вектора не е задължително да са нули. Преди да се заема с тази задача, да си припомним какво трябва да установим. Ако поне една от двете константи, или с1, или с2, е различна от нула, тогава това означава, че имаме линейно зависимо множество. Ако и двете константи с1 и с2 са равни на нула, ако единственият начин да е изпълнено това равенство... имам предвид, че винаги ще е изпълнено, ако приравним всичко на нула. Но, ако единственият начин да е вярно е като направим тези две константи нула, тогава имаме линейно независимо множество. Да направим някои математически преобразувания. Това ни връща в дните на Алгебра 1. За да бъде вярно това, това означава, че 2 по с1 плюс 3 по с2 е равно на... когато казвам, че това е равно на нула, това е всъщност нулевият вектор. Мога да го запиша като [0;0]. Значи 2 с1 + 3 с2 трябва да е равно на горната нула. После ще имаме 1 по с1 плюс 2 по с2 е равно на долната нула. Това е просто една система от уравнения, две уравнения с две неизвестни. Можем да направим няколко неща. Можем да умножим горното уравнение по 1/2. Ако го умножим по 1/2, получаваме с1 + (3/2)с2 е равно на 0. После, ако извадим зеленото уравнение от червеното уравнение, това става нула. 2 минус 1 цяло и 1/2... 3/2 е равно на 1 цяло и 1/2. това е просто 1/2 по с2, е равно на нула. Това е лесно за решаване. с2 е равно на 0. Колко е с1? Просто заместваме тук с2 = 0. И това отново е равно на 0. с1 + 0 = 0. Значи с1 също е равно на 0. Можем да го заместим обратно в горното уравнение. Единственото решение на това уравнение е и двете константи, и с1, и с2 да са равни на 0. Значи и двете трябва да са 0. Това е линейно независимо множество от вектори. Което означава, че никой от тях не е продукт на другия. Никой вектор не може да бъде представен като комбинация на другия. Щом имаме два вектора, които са линейно независими, това означава, че линейната им обвивка е R2. Линейната обвивката на двата вектора е равна на R2. Ако единият вектор беше просто мащабирана версия на другия, тогава линейната им обвивка щеше да е права в R2, а не цялата равнина R2. Сега можем да представим всеки вектор в R2 като някаква комбинация от тези двата. Да разгледаме друг пример. Ще се преместя надясно, защото понякога, когато отивам твърде много надолу, още не знам защо, но отида ли твърде надолу, нещата се объркват. Следващият пример е множество от вектори. Имам вектора [2;1]. Имам вектора [3;2]. Имам вектора [1;2]. Искам да знам дали тези вектори са линейно зависими или независими. Ще направя същото нещо. Ще използвам нашата теорема, която доказах в началото на клипа. За да бъдат линейно зависими, векторите трябва да имат някакво множество от "тежести", по които да ги умножим, така че с1 по този вектор плюс с2 по този вектор, плюс с3 по този вектор да са равни на нулевия вектор. Ако един от тези коефициенти е различен от нула, тогава имаме множество от линейно зависими вектори. Ако всички коефициенти са нули, тогава множеството е независимо. И сега да го разгледаме от гледна точка на линейната алгебра. Това означава, че 2 по с1 плюс 3 по с2, плюс с3 е равно на горната нула. Ако умножим долните редове... спомни си, че когато умножаваме скалар (число) по вектор, умножаваме по всеки от тези членове. Значи с1 по 1. 1по с1 + 2 по с2 + 2 по с3 е равно на 0. Има няколко извода от тази задача. Ако имаме три двумерни вектора, единият от тях е излишен. Защото при всички положения, ако приемем, че този вектор и този вектор са линейно независими, тогава линейната им обвивка покрива равнината R2. Което означава, че всяка точка, всеки вектор в това двумерно пространство може да се представи чрез някаква комбинация от тези два вектора. В който случай това ще бъде единият от тях, защото това е просто вектор в двумерно пространство. Значи той ще е линейно зависим. И после, ако кажем, че тези вектори не са линейно независими, тогава те са просто мащабирани версии един на друг. В този случай това определено е линейно зависимо множество. Когато видиш три вектора, които са просто вектори в R2, това са двумерни вектори, ясно е, че това са линейно зависими вектори. Но аз ще ти го докажа, като използвам нашата теорема. Ще ти покажа, че мога да взема ненулеви коефициенти с3, с2 и с1, такива, че тук да получа нула. Ако всички тези трябва да са нули – искам да кажа, че винаги мога да ги приравня на нула. Но ако са равни на нула, тогава те ще са линейно независими. Нека само да ти покажа. Можеш да избереш произволно с3. Нека с3 да е равно на –1. До какво ще се сведат тези две равенства? Имам предвид, че имаме три неизвестни и две уравнения, което означава, че нямаме достатъчно условия за нашата система. Така че ако вземем с3... ако избера на случаен принцип от една шапка, мога да избера с3 да е всяко произволно число. Ако взема с3 да е равно на –1, какви стават тези уравнения? Получаваме 2с1 + 3с2 –1 = 0. И получаваме с1 + 2с2 –2 = 0. Нали така? 2 по –1. Какво мога да направя тук? Ако умножа второто уравнение по 2, какво ще получа? Получавам 2с1 + 4с2 – 4 = 0. Сега да извадим това уравнение от другото уравнение. с1 се съкращават. 3с2 – 4с2 е равно на минус с2. После –1 минус –4 е равно на –1 плюс 4. Това е +3 е равно на 0. Само да проверя, че го реших вярно. Имаме –1 минус –4. Значи плюс 4. Получаваме плюс 3. Значи това е –2. Значи –с2 е равно на –3, или с2 е равно на 3. Ако с2 е равно на 3 и с3 е равно на –1... сега да заместим тук, ще получим с1 + 2 по с2, значи плюс 6, плюс 2 по с3, значи –2, е равно на 0. с1 плюс 4 е равно на 0. с1 е равно на –4. Давам ти комбинация от коефициентите с, такава, че можем да получим нулев вектор. Ако умножа –4 по първия вектор, [2; 1], това е с1, плюс 3 по втория вектор, [3; 2], минус 1 по третия вектор, [1; 2], това трябва да е равно на 0. Само да проверим, просто за удоволствие. –4 по 2 е –8, плюс 9 минус 1. Да, това е –9 плюс 9, което е равно на 0. –4, това е –4, плюс 6 минус 2, –4 плюс 6 минус 2 също е нула. Току-що показахме една линейна комбинация на тези вектори, при която никоя от константите не е нула. Но ние трябваше само да покажем, че поне една от константите трябва да е различна от нула, и всъщност ние показахме, че и трите са различни от нула. Но поне една от тези константи трябва да е различна от нула. Това удовлетворява това уравнение, и аз успях да представя с тях нулевият вектор. Това показва, това доказва, че това е множество от линейно зависими вектори. Което означава, че един от тези вектори е излишен. И никога не можеш просто да кажеш кой е излишният вектор, защото мога да представя този като комбинация от тези двата. Но точно толкова лесно можеш да избереш този вектор да е излишният, защото можеш да го представиш като сбор от тези двата. Няма само една гнила ябълка в торбата. Всеки един от тях може да бъде представен като комбинация от другите, от останалите вектори. Надявам се, че по-добре разбра логиката за линейната зависимост и независимост. Може би ще продължа и ще реша още няколко примера в следващото видео.