Примери за линейна обвивка и линейна независимост

Искам да обединя всичко, което учихме за линейна независимост и зависимост, за линейна обвивка на множество от вектори в една доста сложна задача, защото ако разбереш за какво става дума в тази задача, това, означава, че разбираш какво правим, и това е ключът към разбирането на линейната алгебра, тези две концепции. Първият въпрос, който ще задам, е относно множество от вектори s, които са тримерни вектори, имат три компонента, и въпросът е дали линейната обвивка на s е равна на R3. Изглежда, че това е възможно. Ако всеки от тези вектори добавя нова информация, тогава изглежда вероятно да мога да опиша всеки вектор в R3 с тези три вектора, с някаква комбинация на тези три вектора. Вторият въпрос, който ще задам, е дали тези вектори са линейно независими? Може би ще можем да отговорим на двата въпроса едновременно. Първо да се заемем с първия въпрос. Дали линейната обвивка е равна на R3? За да бъде линейната им обвивка равна на R3, това означава някаква линейна комбинация на тези три вектора да може да даде всеки вектор в R3. Ще направя една линейна комбинация на трите вектора. Може да имаме с1 по първия вектор, [1; –1; 2], плюс друга произволна константа с2, някакво число, по втория вектор, [2; 1; 3] плюс някаква трета мащабираща константа по третия вектор [–1; 0; 2]. Трябва да мога, като използвам произволни константи, да получа някаква комбинация от тези вектори, която дава всеки вектор в R3. Ще представя всеки вектор в R3 чрез вектори с координати а, b и с, като а, b и с са произволни реални числа. Така че, ако ми дадеш някакви числа а, b и с, аз ще мога да ти дам формула, която да ти каже какви са твоите с3, с2 и с1, което означава, че тази комбинация има линейна обвивка, равна на R3, защото, ако ми дадеш един вектор, аз винаги ще мога да ти кажа как да получиш този вектор чрез тези три вектора. Да видим ще мога ли да направя това. От нашето определение за скаларно умножение на вектор, знаем, че с1 по първия вектор, мога да го преработя, ако искам. Обикновено пропускам тази стъпка, но сега искам всичко да е ясно. Значи с1 по това... мога да го представя като 1 по с1... всеки компонент, умножен по с1. По същия начин, с2 по този вектор е равно на всеки компонент по с2. И с3 по този вектор е равно на всеки компонент по с3. Искам да ти покажа, че всичко, което правим, просто следва от определението за умножение на вектор по скалар, което е това, което току-що направихме, или събиране на вектори, което сега ще направим. Събирането на вектори ни казва, че този компонент плюс този компонент, плюс този компонент трябва да е равно на този компонент. Ще го запиша. Получаваме с1 + 2с2 –с3 е равно на а. По същия начин ще действаме и със следващия ред. –с1 + с2 + 0 по с3 трябва да е равно на b. Получаваме –с1 + с2 + 0 по с3 – дори не е нужно да го пиша – е равно на b. И накрая да направим същото с третия ред. 2с1 + 3с2 + 2с3 е равно на с. Сега да видим как можем да намерим различните константи. Ще използвам елиминиране. Може би познаваш този метод. Мисля, че сме го правили в някои по-раншни клипове от линейната алгебра, преди да започна да го правя формално. Ще направим преговор отново след няколко видеа, но мисля, че разбираш как се решава по този начин. Първо ще елиминирам тези първите два члена, и после ще елиминирам този член, и накрая ще намеря различните константи. Ако искам да елиминирам първо този член, тогава мога да събера това уравнение и това уравнение. Даже още по-добре ще е да заместя това уравнение със сбора на тези двете уравнения. Да го направим. Просто ще събера тези две уравнения и ще заместя това с този сбор. Значи –с1 + с1, това е равно на 0. Мога да го пренебрегна. После с2 + 2с2 е равно на 3с2. После 0 плюс –с3 е равно на –с3. –с3 е равно на... замествам това със сбора на тези двете, значи b + а. Това е равно на b + а. Сега ще препиша първото уравнение отгоре. Първото уравнение не се променя изобщо. Значи получавам с1 + 2с2 – с3 = а. В последното уравнение искам да елиминирам този член. Взимам това уравнение и изваждам от него 2 пъти първото уравнение. Това е все едно да съберем това уравнение с горното уравнение, умножено по –2. Тъй като почти приключихме с използването на това, всъщност даже можем да го запишем, просто да умножим това уравнение по –2. Това става –2с1 –4с2 + 2с3 е равно на –2а. Ако просто умножим всеки от тези членове... трябва да внимавам, не искам да сгреша по невнимание. –2 по с1, минус 4 по с2, плюс 2 по с3, и после минус 2 по а. Сега можем да съберем тези двете. Какво се получава? 2с1 минус 2с1 е равно на 0. Няма нужда да го пиша. 3с2 минус 4с2 е равно на –с2. После имаме нашето 2с3 плюс 2с3, което е равно на 4с3, и това е равно на (с – 2а). Просто заместих това с това минус 2 по това, и получих това. Сега пак няма да променям горното уравнение. Няма да правя нищо с него, просто ще го препиша отдясно. Получавам с1 + 2с2 – с3 = 0. Ще запазя и второто уравнение, получавам 3с2 – с3 = b + а. Ще се преместя малко. И после в това последното уравнение искам да елиминирам... Целта ми е да елиминирам този член ето тук. Искам да умножа долното уравнение по 3 и после да го прибавя към средното уравнение, за да елиминирам този член ето тук. Ако умножа това долното уравнение по 3... не искам да създавам хаос, значи това става –3 + 3, които се унищожават. Това става 12 минус 1. Получава се 12с3 минус с3, което е равно на 11с3. И това става... о, извинявам се, вече го бях направил. Когато събера 3 по това плюс това, те се унищожават. После, когато умножих 3 по това, получих 12с3 минус с3, така че това е 11с3. Умножих това по 3 плюс това, така че получих 3с минус 6а... просто умножавам това по 3... плюс това: плюс b + а. Как мога да преработя това? Искам да поясня нещо. Това с е различно от тези с1, с2 и с3 ето тук. Мисля, че разбираш това. Но сега виждам, че съм използвал буквата с два пъти, не искам да се стига до объркване. Това с няма никакъв индекс и е различна константа от всички тези константи ето тук. Да видим дали можем да опростим това. Имаме а и –6а, които можем да съберем. Да се отървем от това а, получаваме –5а. Ако разделим двете страни на това уравнение на 11, какво ще получим? Получаваме с3 е равно на 1/11 по (3с – 5а). Ако ми дадеш стойностите на а и на с, аз веднага ще мога да кажа колко е с3. Колко е с2? с2 е равно на... ще опростя това уравнение тук. Ще го направя ето тук. Ако добавя с3 към двете страни на уравнението, получавам 3с2 е равно на b + а + с3. Ако разделя двете страни на 3, ще получа с2 е равно на 1/3 по (b + а + с3). Засега ще го оставя така. На колко е равно с1? Мога просто да преработя горното уравнение, ако извадя 2с2 и прибавя с3 към двете страни, ще получа, че с1 е равно на –2с2 + с3. Какво ти показах току-що? Можеш да ми дадеш всеки вектор в R3, който искаш да намериш. Можеш да ми дадеш всяко реално число за а, всяко реално число за b и всяко реално число за с. И ако ми дадеш тези числа, аз твърдя, че мога винаги да ти дам някаква комбинация от тези три вектора, чийто сбор е равен на този вектор. И всъщност аз вече намерих по колко трябва да умножа всеки от тези вектори, за да ги добавя към този третия вектор. Ако ми дадеш числата а, b и с, аз просто трябва да заместя тези а и с тук. О, извинявам се. Тук съм забравил b. Тук има и b. Беше подозрително, че b не ми трябва. Тук има и b. Това тук е 3с – 5а + b. Нека да го запиша. Ето тук в скобите има b. Но мисля, че разбра общата идея. Даваш ми твоите а, b и с, може да са всяко реално число. Тук няма деление, така че не трябва да се тревожа за деление на 0. Така че това е линейна комбинация на произволни реални числа, така че мога да получа друго реално число. Даваш ми твоите а, b и с, и аз ще ти дам с3. Даваш ми а, b и с, получавам с3. Това ще бъде просто още едно реално число. И после мога да взема това с твоите предишни а и b и ще мога да ти дам с2. Вече успяхме да намерим с2 и с3, и тогава просто използваме а, и ще намерим колко е с1. Надявам се, че виждаш, че независимо кои са числата а, b и с, аз мога да намеря с1, с2 или с3. Няма причина за някое а, b или с формулата да не работи. Нямаме деление, така че дори и с 0 работи. Мога определено да кажа, че множеството от тези три вектора има линейна обвивка, равна на R3. Сега ще ти задам друг въпрос. Вече го зададох. Тези вектори линейно независими ли са? Казахме, че за да бъдат линейно независими, единственото решение за с1 по първия вектор, [1; –1; 2], трябва да е с1 = с2 = с3 = 0, плюс с2 по втория вектор [2; 1; 3], плюс с3 по третия вектор [–1; 0; 2]. Ако имаме линейна независимост, това означава, че единственото решение на уравнението... т.е. искам да намеря някакво множество от комбинации на тези вектори, което дава нулевия вектор, и аз направих това в предишното видео. Ако те са линейно зависими, тогава трябва да има някакво решение, различно от нула. Една от тези константи, поне една от тези константи, трябва да е различна от нула за това решение. Винаги можеш да ги направиш нули, независимо от всичко, но ако те са линейно зависими, тогава един от тези коефициенти ще бъде различен от нула. Ако те са линейно независими, тогава всички тези коефициенти... единственото решение на това уравнение ще бъде с1, с2, с3, и трите константи, равни на нула. с1, с2 и с3 трябва да са равни на нула. Линейната независимост предполага това, това предполага линейна независимост. Това е точно същото като това, което направихме тук, но в този случай аз просто избирам моите а, b и с да са равни на нула. Това е а, това е b, а това е с, нали? Мога да избера всеки вектор от R3 за моите а, b и с. Сега избирам нулевия вектор. Да видим колко са нашите с1, с2 и с3. Моето а е равно на b, е равно на с, е равно на нула. Избирам ги да са равни на нулевия вектор. Каква линейна комбинация на тези три вектора е равна на нулевия вектор? Добре, ако а, b и с са равни на 0, този член е равен на 0, това е нула, това е нула. Получаваме 1/11 по 0, минус 0, плюс 0. Това е просто 0. Значи с3 е равно на 0. Ако с3 е равно на 0, вече знаем, че а е равно на 0 и b е равно на 0. с2 е 1/3 по 0, значи също е равно на 0. Сега колко е с1? То е равно на с3, което е 0, с2 също е нула, значи 2 по 0 е 0. Значи с1 просто ще е равно на а. Но току-що казах, че а е равно на 0. Значи единственото решение на това уравнение тук, единствената линейна комбинация на тези три вектора, от която се получава нулевия вектор, е когато умножаваш и трите вектора по нула. Току-що ти показах, че с1, с2 и с3 трябва да са нула. И понеже те всички са нули, знаем, че това е множество от линейно независими вектори. Или че никой от тези вектори не може да бъде представен като комбинация от другите два. Това е интересно. Имаме точно три вектора, чиято линейна обвивка е R3, и те са линейно независими. Линейно независими за мен означава, че няма никакви излишни вектори, нищо, което може да бъде построено чрез другите вектори, и имаме точно три вектора, чиято линейна обвивка е R3. Така че, по принцип, аз не съм ти го доказвал, но бих могъл, ако имаш точно три вектора и те има линейна обвивка R3, те задължително са линейно независими. Ако те не са линейно независими, тогава един от тези ще е излишен. Да кажем, че този вектор е излишният. Винаги избирам третия, но нека да кажем, че този вектор е излишен, което означава, че линейната обвивка ще бъде равна на линейната обвивка на тези два вектора, нали? Защото, ако този вектор е излишен, той просто би могъл да е част от линейната обвивка на тези два вектора. А линейната обвивка на два вектора никога не може да бъде R3. Или по обратния начин, ако имаш три линейно независими вектора, три подредени тройки, и те са независими, тогава винаги можеш да кажеш, че линейната им обвивка е R3. не съм ти го доказвал, но се надявам, че придоби представа, че всеки от тях внася ново измерение, нали? Единият сочи насам. Те не са напълно ортогонални един спрямо друг, но ни дават достатъчно насоченост, че да можем да добавим нова посока към ситуацията. Надявам се, че това ти е донякъде полезно, и ще се видим в следващото видео.