Сравнение на скаларно и векторно произведение

Нека да разгледаме приликите и разликите между скаларното и векторното произведение. Ще начертая два вектора. Ако имаме време, ще решим няколко скаларни и векторни произведения с истински вектори. Така. Ще начертая и другия вектор. Винаги правя остър ъгъл. Ще ги означа. Бавя се при смяната на цветовете. Това е ъгълът между тях. Първо ще преговорим дефинициите, а след това ще разгледаме логиката. Надявам се, че вече знаеш част от това. Какво е a.b? Първо, това е същото като b.a. При скаларното произведение редът няма значение, защото се получава число. То е равно на дължината на a по дължината на b, по косинус от ъгъла между тях. Каква е дефиницията на векторното произведение? Какво е a X b? Първо, това не е равно на b X a, а всъщност е равно на обратната посока. Представи си го като отрицателното на b X a. Защото крайният вектор, който получаваш, е обърнат в зависимост от реда. a X b е равно на дължината на вектор a по дължината на вектор b – дотук прилича на скаларното произведение, но следва разликата – умножено по синуса на ъгъла между тях. Синус на ъгъла между тях. Тук разликата е съществена. При скаларното произведение се получава само едно число. Имаме само едно число. Тук няма посока. Това е скаларна величина. Но при векторното произведение умножаваме дължината на a по дължината на b, по синус на ъгъла между тях, и се получава дължина, но също и посока. Тази посока е представена от този нормален вектор. Това е единичен вектор. На него се поставя тази шапчица. Каква е посоката на единичния вектор? Това се определя чрез правилото на дясната ръка. Това е вектор. Той е перпендикулярен и на a, и на b. По начина, по който съм ги начертал, a и b лежат в равнината на екрана ти. За да може нещо да е перпендикулярно и на двете, трябва да сочи навън от екрана или навътре в него. Когато учихме векторното произведение, казах, че има два начина за показване на вектор, сочещ навън. Изглежда така, защото това е върхът на стрелката. А това е вектор, сочещ навътре в екрана, защото това е краят на стрелката. Задната част на стрелката. Как да знаем дали сочи навън или навътре? И двата вектора са перпендикулярни на a и b. Ще използваш ръката си за правилото на дясната ръка. Показалецът ти трябва да сочи в посоката на a, средният ти пръст – в посоката на b, а палецът ти сочи в посоката на n. Да го направим. Гледам ръката си. Не е много лесно да се направи дясната ръка, но тя ще изглежда така. Показалецът ти е в посоката на a, средният ти пръст – в посоката на b. Това е средният ми пръст. Другите ми два пръста не правят нищо. Обикновено ги свивам. Старая се да ги нарисувам. Свивам ги ето така. В каква посока е палецът ми? Нарисувах го под грешен ъгъл. Палецът ми всъщност сочи в тази посока. Навътре в страницата. Това е опакото на ръката ми. Това са вените ми. Ако го нарисувам правилно, ще видиш ръката си отстрани, ето така. Ще виждаш кутрето си. Дланта и кутрето ти ще стоят така. А другият ти пръст ето така. Средният ти пръст сочи в посоката на b. Показалецът ти сочи в посоката на a. Няма да виждаш палеца си, защото той ще сочи надолу. Мисля, че придоби представа. Този вектор n сочи навътре. Това е единичният вектор и той предоставя дължината. Нарича се единичен, защото дължината му е 1. Дължините на скаларното и векторното произведение изглеждат доста сходни. И двете имат дължините на тези два вектора. Скаларно произведение – косинус на тита. Векторно произведение – синус на тита. Разликата идва от там, че синусът на тита има посока. Това е различен вектор, перпендикулярен на тези двата. Да придобием по-обща представа. Надявам се, че ако си гледал/а видеоклиповете за скаларното и векторното произведение, имаш някаква представа. Разглеждам ги отново, защото мисля, че всичко си идва на мястото, когато ги разглеждаме заедно. Ще ги изтрия по този начин. Първо ще разгледаме a.b по косинус на тита. Както във видеоклипа за скаларното произведение, ще вземем b по косинус от тита. Колко е b по косинус от тита? Можеш да си го изчислиш самостоятелно. Косинусът е равен на прилежащия катет към хипотенузата. На колко е равно дължината на b по косинус от тита? Ще начертая перпендикуляр. Ще използвам различен цвят. Тази дължина тук е b по косинус от тита. Ще го направя отделно. Не искам да претоварвам чертежа. Това е b. Ще използвам инструмента за чертане на линии. Това е вектор a. За останалото ще използвам един и същ цвят, за да спестя време. Това е b, а това – a. Това е тита. b по косинус от тита... Ще спусна перпендикуляр към a. Това е прав ъгъл. Прилежащият катет към хипотенузата е равно на косинус на тита. b по косинус от тита е проекцията на b в посоката на a. Значи ще бъде тази дължина. Това е b по косинус на тита. Дължината на този вектор... дължината на b по косинус от тита. При скаларното произведение в моя пример, ако разгледаме дължината на a по дължината на b по косинус от тита, виждаме коя част от b е в посоката на a. Получената дължина се умножава по дължината на a и се получава скаларното произведение. Ще вземем частите с една и съща посока, и ще ги умножим. Доколко имат обща посока, т.е. сочат в една и съща посока. Може да се разгледа и по друг начин. Това го направих във видеоклипа за скаларното произведение. Може да се разгледа като a по косинус от тита по b. Защото няма значение. Това са скаларни величини, така че няма значение в какъв ред ги умножаваме. a по косинус от тита е същото. Равно е на дължината на вектор a в посоката на вектор b. Т.е. проекцията на a върху b. Този вектор тук е дължината на a по косинус на тита. И те са едно и също число. Ако изчислиш дължината на b в посоката на a и го умножиш по дължината на a, получаваш същото число като дължината на a в посоката на b, умножена по другата дължина. Колко е a по b по синус на тита? a по b по синус от тита. Ако този вектор е a по косинус от тита – това сме го учили, когато определяхме елементите на вектори. Този вектор тук е дължината на a по синус от тита. Може да се напише и като дължината на а, по синус от тита, по дължината на b в посоката на този нормален вектор. При a по синус от тита, по b, определяме каква част от a не е в посоката на b. Каква част от a е перпендикулярна на b – няма нищо общо с b. Нямат нищо общо. Сочи в изцяло друга посока. Това е a по синус от тита. Взимаш произведението на това по b и получаваш трети вектор. Все едно питаме: „колко различни са тези два вектора?“. Сочи в различна посока. Получава се т.нар. псевдовектор. Това е свързано с псевдовекторите, които се прилагат в някои случаи. Най-важният от тях е този за въртящия момент. Използва се при магнитните полета – силата им върху електрическия заряд. Това са сили или физически явления, при които няма значение посоката на силата с друг вектор, а посоката на силата, перпендикулярна на друг вектор. И тогава векторното произведение е полезно. Надявам се, че придоби представа за това. Може да се направи и по друг начин. Може да се напише като b по синус от тита. И тогава ще кажем, че това е проекцията на b, която е перпендикулярна на a. Така че b по синус от тита всъщност щеше да бъде този вектор. Ще го начертая тук. Така ще е по-ясно. Това може да бъде b по синус от тита. Редът може да се сменя. И двата начина стават. Можеш да кажеш, че това е дължината на b, която е напълно перпендикулярна на a, да умножиш двете стойности и да използваш правилото на дясната тъка, за да получиш нормалния вектор. Използвахме това правило, за да имаме обща рамка. Но хората може да използват правилото на лявата ръка или друг начин. Това е начин да имаме някаква постоянна рамка, за да може да знаем посоката на нормалния вектор при векторните произведения. Така. В следващия видеоклип ще ти покажа как да изчисляваш скаларни и векторни произведения, когато са записани чрез компонентите им. Ще се видим в следващия видеоклип.