If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:31

Доказване на сходимостта на една числова редица, използвайки формалната дефиниция

Видео транскрипция

В предишното видео заявих твърдение, че тази редица ето тук може да бъде определена чрез явно задаване по начин, при който границата на редицата -- мога да я напиша като минус 1 на степен n плюс 1 върху n. Това е единият начин за определяне на дадена редица явно -- границата на това, когато n клони към безкрайност, е равна на 0. Като тя изглежда по този начин. n става все по-голямо и по-голямо, и по-голямо, въпреки че числителят се колебае между минус 1 и 1. Изглежда че той става все по-малък и по-малък и по-малък. Но не съм го доказал, като точно това искам да направя сега във видеото. За да го докажа, това ще бъде вярно ако и само ако за всяко епсилон по-голямо от 0, има главно М, което е по-голямо от 0, При което ако малко n, ако индексът е по-голям от главно М, тогава n-тият член от редицата ще бъде в обхвата на епсилон за границата, в рамките на епсилон от 0. Какво означава това? Това означава, че -- границата ни е 0. Нека го напиша с нов цвят. Границата ни тук е 0. Това е границата. Границата тук е -- казваме, че редицата е сходяща към 0. Казваме, че ако ни е дадено епсилон около 0. Нека кажем, че това тук е 0 плюс епсилон. Това е 0 плюс епсилон. Начинът, по който го начертахме тук, изглежда че епсилон ще бъде 0,5. Това ще бъде 0 минус епсилон. Нека го начертая малко по-ясно. Това ще бъде 0 минус епсилон. Имаме отрицателен епсилон, 0 минус епсилон, 0 плюс епсилон. Границата в този случай или твърдението ни за границата е 0. Това гласи, че за всяко епсилон, трябва да намерим такова М, при което ако n е по-голямо от М, разстоянието между редицата и границата ще бъде по-малко от епсилон. Ако разстоянието между редицата и границата е по-малко от епсилон, това означава, че стойността на редицата за дадено n ще бъде в рамките на тези две граници. Тя трябва да е в този обхват ето тук, който защриховам над определено n. Следователно ако избера n да е ето тук, изглежда, че всичко по-голямо от това ще бъде случай, в който ще бъдем в рамките на тези граници. Но как ще го докажем? Нека просто помислим, какво трябва да се случи, за да бъде това вярно. Какво трябва да е вярно, за да бъде а с индекс n минус 0, абсолютната стойност на а с индекс n минус 0, да бъде по-малко от епсилон? Това е друг начин да кажем, че абсолютната стойност на а с индекс n трябва да бъде по-малка от епсилон. а с индекс n е просто това тук, така че това е друг начин да кажем, че абсолютната стойност на минус 1 на степен n плюс 1 върху n трябва да бъде по-малка от епсилон, което е друг начин да кажем, защото това минус 1 на степен n плюс 1, този числител просто се сменя от отрицателна и положителна версия на 1 върху n. Но ако изчислиш абсолютната стойност от това, то винаги ще бъде положително. Това е същото като 1 върху n, като абсолютната стойност от 1 върху n трябва да е по-малка от епсилон. n ще бъде винаги положително. n започва от 1 и отива до безкрайност. Тази стойност ще бъде винаги положителна. Това означава същото като 1 върху n трябва да е по-малко от епсилон, за да може това нещо тук да бъде вярно. Сега пишем реципрочното от двете страни. Ако вземем реципрочното от двете страни за едно неравенство, ще имаме n -- ако вземеш реципрочното от двете страни на едно неравенство, разменяш знака му. За да бъде това вярно, n трябва да бъде по-голямо от 1 върху епсилон. Като по същество сега го доказахме. Казахме, че за тази определена редица, ако ми дадеш някакво епсилон, аз ще намеря М, което да е 1 върху епсилон. Защото ако n е по-голямо от М, което е 1 върху епсилон, ще знаем, че това тук ще бъде вярно. Това ще бъде вярно. Така че границата определено съществува. Така че тук, за това определено епсилон изглежда че сме избрали 0,5 или 1/2 за нашето епсилон. Стига n да е по-голямо от 1 върху 1/2, което е 2, така че в този случай можем да кажем, че ако ми дадеш 1/2, М ще бъде функция от епсилон. Това ще бъде определено за всяко епсилон, което е по-голямо от 0. 1 върху 1/2 е точно ето тук. Ще направя М да е ето тук. Виждаш, че това наистина е случай, в който редицата е в рамките на обхвата, когато минава през всяко n по-голямо от 2. За n равно на 3 тя се намира в обхвата. За n равно на 4 тя е в обхвата. За n равно на 5 -- като тя продължава нататък. Ние го доказахме ето тук. Извършихме доказателството. Ако ми дадеш всяко друго епсилон, казах че М е равно на 1 върху това нещо. За всяко n по-голямо от това, това ще бъде вярно. Следователно това определено е така. Тази редица е сходяща към 0.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".