Основно съдържание
11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ
Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ > Раздел 3
Урок 1: Метод на математическата индукция- Индуктивно и дедуктивно съждение
- Индуктивно съждение
- Индуктивно съждение (пример 2)
- Доказателство на формулата за сума от първите n члена на аритметична прогресия чрез индукция
- Използване на индуктивно съждение
- Използване на индуктивно съждение (пример 2)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Доказателство на формулата за сума от първите n члена на аритметична прогресия чрез индукция
Доказване чрез индукция на израз за сумата на всички положителни цели числа до n включително. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Ще дефинирам една
функция S от n като сумата от всички цели
положителни числа, включително n. Следователно дефиниционното
множество на тази функция включва всички цели положителни числа.
n следва да е цяло положително число. Може да проверим тази
формула с няколко опита. Например S от 3
ще бъде равно на 1 плюс 2, плюс 3,
което е равно на 6. Може да намерим S от 4, което ще бъде равно на 1,
плюс 2, плюс 3, плюс 4, т.е. ще бъде равно на 10. Много лесно. В настоящия урок
искам да докажа, че – като това може да се
направи по няколко начина – ще запиша, че функцията S от n,
тоест сумата от всички цели положителни числа,
включително n, е равна на n по (n + 1),
цялото върху 2. Начинът, по който ще го докажа,
е чрез математическа индукция. Доказателство чрез
математическа индукция. Това е много интересен
метод за доказателство. Методът на индукцията представлява
следното – първо се доказва основният случай – искаме
да докажем ето това твърдение.
(показва на екрана и го огражда) Първо ще го докажем за S от 1,
т.е. това ще е нашият основен случай. След това ще приложим
следващата стъпка на индукция. Това е все едно да кажем: "Да предположим, че
това твърдение е изпълнено за някакво цяло положително число k". Допускаме това
и после ще докажем, че е изпълнено за следващото цяло
положително число (k + 1). Причината това да работи
е следната. Нека да кажем, че ще докажем и двете твърдения.
Основният случай ще докажем за числото 1. Но не е задължително основният
случай винаги да е числото 1. Твърдението може да е вярно
за всяко число, по-голямо от 55. Или за всички числа, по-големи
от дадена стойност. В настоящия случай, обаче, заявяваме, че това
е изпълнено за всички цели положителни числа. Основният случай
ще бъде за числото 1. Тогава в стъпката с индукцията ще докажем,
че ако предположим, че тази формула е вярна за някаква сума от k числа, то формулата ще бъде вярна
и за сумата от (k + 1) числа. Причината това да е всичко,
което е необходимо, за да го докажем за всички цели
положителни числа, е следната. Нека да разгледаме всички цели положителни
числа ето тук. 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.н.
до безкрайност. Ще докажем, че твърдението
е вярно за числото 1. Ще докажем, че ето
тази формула тук,
(показва формулата, оградена със зелено) т.е. този израз точно ето тук,
е изпълнен за случая n равно на 1. След това ще докажем, че ако е вярно за произволно
число k, то е вярно и за следващото число. Следователно, ако знаем, че това е изпълнено за числото 1,
което е нашият основен случай, тогава във втората стъпка, т.е. стъпката на индукцията,
трябва да е изпълнено за числото 2. Защото сме доказали, че ако е изпълнено
за числото k, то ще бъде изпълнено и за (k + 1). Когато е вярно за 2, то
следва да бъде вярно и за 3, защото сме доказали, че
ако е вярно за k, то е вярно и за (k + 1). Тогава, ако е изпълнено за 2,
то е изпълнено и за 3. А ако е изпълнено за 3,
то ще бъде изпълнено и за 4. Може да продължаваш така до безкрайност,
което означава, че е изпълнено за всички числа. Дотук говорихме много общо. Нека сега наистина
да го докажем чрез индукция. Нека вземем числото 1
и го заместим във формулата. Това ще е равно на сумата
от всички цели положителни числа, включително 1, т.е. действително
ще е равно на 1. Току-що прибавихме всички тези числа,
т.е. равно е просто на 1. Няма друго положително цяло число,
което да прибавим до и включително числото 1. А сега може да докажем, че
това е равно на същото нещо като 1 по (1 + 1),
и всичко това върху 2. 1 плюс 1 е равно на 2, а 2 разделено на 2
е равно на 1. 1 по 1 е равно на 1. Следователно дефинираната
формула тук, т.е. този израз, е верен за числото 1. Следователно
сме доказали нашия основен случай. Доказахме го за числото 1. А сега ще предположа, че това
е вярно за произволно число k. Правя предположение, че твърдението
е изпълнено за някакво число k. Допускам, че за някакво число k
дефинираната функция S(k) е равна на k по (k + 1), върху 2. Допускам, че това
твърдение е вярно. Сега следва да разгледам какво се случва,
когато искам да изчисля функцията за (k + 1). Това е моето
допускане. Допускам, че това
е вярно и го знам. Нека сега опитаме
да го направим за k + 1. На какво е равна сумата от всички
цели положителни числа до и включително (k + 1). Сумата ще бъде равна на 1 плюс 2,
плюс 3, плюс всички числа до k, плюс (k + 1). Нали така? Това е равно на сумата
от всички числа до и включително (k + 1). Допускаме, че вече знаем
на какво е равно ето това. Допускаме, че вече
имаме формула за това. Допускаме, че това
ще се опрости до k по (k + 1), върху 2. Допускаме, че
това е вярно. Тогава просто ще вземем този
резултат и ще го прибавим към (k + 1). Тоест ще го прибавим
към (k + 1) ето тук. Общият знаменател
ще бъде равен на 2. Следователно този сбор
ще бъде равен на... Първо ще запиша
тази част в пурпурно. Равно е на k по (k + 1), върху 2,
плюс 2 по (k + 1), върху 2. Това нещо в синьо е равно
на ето това нещо в синьо. Тези двойки ще се съкратят, но просто
го записах така, за да има общ знаменател. Следователно сборът
ще бъде равен на следното. Имаме общ знаменател равен на 2,
а това ще го запиша с различен цвят тук. Ще се получи k по (k + 1),
плюс 2 по (k + 1). В тази стъпка можем
да изнесем пред скоби (k + 1). Ето тези два члена
се делят на (k + 1). Нека да го изнесем пред скоби. Ако изнесем (k + 1) пред скобите,
то получаваме (k + 1) по това, което остава, след като разделим
на (k + 1). Получаваме само k. Ето тук, ако изнесем (k + 1),
то получаваме само 2. Нека да ги запиша
с различни цветове, за да е по-ясно това,
което правя. Тоест ето тази двойка и тази
двойка тук. И това k е това k ето тук. Направихме разлагане. Тези членове (k + 1), които изнесохме,
са ето това (k + 1) ето тук. Всичко това ще бъде
върху знаменател 2. Сега може да го опростим.
Равно е на следното. Това е равно на (k + 1) –
т.е. ето тази част тук – по (k + 1) плюс 1. Нали така? Това определено
е равно на същото като (k + 2). Всичко това е върху 2. Защо това е
интересно за нас? Ами ние току-що
го доказахме. Ако допуснем, че това твърдение е изпълнено,
и ако използваме това предположение, то получаваме, че сумата от всички цели положителни числа
до и включително (k + 1), е равна на (k + 1) по ((k + 1) плюс 1), върху 2. По същество показваме първоначалната формула,
но приложена за числото (k + 1). Ако вземем (k + 1) и
го заместим на мястото на n, то ще получим точно резултата,
който получихме ето тук. И така доказахме
нашия основен случай. Това равенство е изпълнено за всички цели
положителни числа до и включително числото 1. Също по допускане е изпълнено и за всички
числа до и включително числото k. Ако допуснем, че е изпълнено за цялото число k,
то също така е изпълнено и за цялото число (k + 1). И сме готови. Това представлява доказателство
чрез математическа индукция. Това доказва, че равенството е изпълнено
за всички цели положителни числа. Защо това е вярно? Доказахме, че е изпълнено за числото 1 и доказахме,
че ако е изпълнено за произволно цяло число, то ще бъде изпълнено
и за следващото цяло число. Тоест, ако допуснем, че е вярно за числото 1,
то ще е вярно и за числото 2. Вече доказахме, че е вярно за числото 1, т.е.
може да допуснем, че е вярно за числото 1. Следователно, определено
е вярно и за числото 2. Отбелязваме и числото 2. След като може обаче да допуснем, че е изпълнено
за 2, то сега може да допуснем, че е изпълнено за 3. Е, ако е изпълнено за 3, то сега
сме доказали, че е изпълнено и за 4. Сега вече виждаме, че тази стъпка с
математическата индукция действа като домино, т.е. предава се на всяко следващо число
и може да продължаваме така до безкрайност. Следователно е изпълнено за
всички цели положителни числа.