Използване на индуктивно съждение (пример 2)

Питат ни колко клечки за зъби ще бъдат нужни, за да получим петдесетата фигура в тази редица. Показани са първите четири фигури от редицата. Това е първата, това е втората, третата. Да видим какво се случва тук. Първата фигура представлява една малка хубава къщичка, направена от клечки за зъби, която има една, две, три, четири, пет, шест клечки за зъби. Значи първата фигура в редицата съдържа шест клечки за зъби. Какво се случва при втората фигура? Тя прилича на първата. Имаме една, две, три, четири, пет, шест клечки за зъби, но после са добавени още клечки за зъби. Добавили са една, две, три, четири, пет клечки. Значи имаме 6 плюс 5 или общо 11 клечки. Ще запиша това. Тук има 6 плюс 5 клечки, което дава общо 11 клечки. После да видим третата фигура, която изглежда съвсем същата като втората, има 11 клечки, 11 клечки са едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем, девет, десет, единайсет, точно като втората фигура. И после са добавили още няколко клечки. Добавили са една, две, три, четири, пет. Изглежда, че всеки път, когато добавят нова къщичка, понеже тя има обща стена с предишната, или има обща клечка с предишната къщичка, се добавят пет клечки. Значи третият член от нашата редица – имаме 11, това е вторият член, който е с две къщички, а после още пет клечки. Така за нашия петдесети член... тук 11 плюс 5 дава 16, после за четвъртия член ще бъде 16 плюс 5, което е равно на 21. Има няколко начина да разсъждаваме. Можеш да се запиташ с колко номерът, индексът на дадения член е повече от 1. Да кажем, че сме в n-ия член на редицата. Ако гледаме n-ия член, с колко неговият индекс е по-голям от 1 – ако имаме n-ия член, индексът му е по-голям с (n – 1) от 1. Ако това те обърква, можем да го направим с конкретни числа, така че да е малко по-ясно. Значи индексът на n-ия член е с (n – 1) по-голям от... можем да кажем, че е повече с тази стойност от 1. Например, ако n е 2, то е с 1 повече от 1. Ако n е 3, то е с 3 минус 1, т.е. с 2 повече от 1. Стойността, с която сме повече от 1 я умножаваме по 5. Когато сме с 2 повече от 1, добавяме 10 клечки към тези, които имаме. Когато сме с 3 повече от 1, добавяме 15 клечки към броя на тези, които имаме. Значи за n-ия член броят на клечките е равен на стойността, с която сме повече от 1, това е (n – 1), умножена по 5. Толкова ще добавим към броя на клечките в първата поредица, умножено по 5. ( n – 1) по 5 плюс броя на клечките, които имаме в предишната редица, или само в тази първата къщичка. Ние вече ги преброихме – това са 6 клечки. Това е единият начин да разсъждаваме. Ако това ти се струва сложно, просто си кажи: ако тук имам 4, то е с 3 повече от 1, значи 4 – 1 е 3, така че ще стане 3 по 5, което е 15. После добавяш броя на клечките в първата къщичка, и получаваш 6. Друг начин, който за мнозина изглежда по-лесен, е дори за първия елемент, да си представиш, че тук има член... ще го направя по този начин. Можеш да си представиш тук член, който не сме нарисували. Представи си нулев член. Само ще го скицирам. Представи си нулев член, който ще има само лява страна на къщата, или в този случай лява клечица от къща. После, първата къща – добавяме 5 клечки към предходната. Във втората къщичка добавяме 5 клечки към предишните. Когато си го представиш по този начин, всъщност става много по-просто да го обобщим чрез n. Тук можеш да кажеш, че n-ият член... ще използвам различен цвят. Можем да кажем, че n-ият член ще има – или може би трябва да кажа броя на клечките в n-ата фигура ще е равен на 1 – в нулевата фигура, която току-що измислих, имаме само една клечка, а после за всеки произволен елемент на реда умножаваме това по 5 и го добавяме към броя на клечките в нулевата къщичка, така че това е 1 плюс 5 по n, което е по-лесен начин да си го представим. Първата фигура ще бъде това 1 в нулевата фигура плюс 5, което дава 6 клечки. Това е вярно даже за нулевата фигура. Ако тук сложим нула, 0 плюс 1 е 1. Ако тук вземем четвъртата фигура, 5 по 4 е 20, 20 плюс 1 е 21. Сега да отговорим на въпроса в задачата. Трябва да намерим колко клечки има петдесетата фигура в тази редица. Тук просто заместваме n с 50. Значи петдесетата фигура – можем да използваме и двете формули. Имаме 1 плюс (5 по 50). 5 по 50 е 250, плюс 1 дава 251. Казах, че можеш да използваш която и да е от двете формули, защото те могат да се превърнат една в друга, ако ги преработим или ако разсъждаваме правилно. Тази формула ето тук – да проверим дали е същата като тази формула тук. Ако умножим 5 по (n – 1), това е 5n – 5, нали? Просто разкрихме скобите и умножихме по 5. После имаме това плюс 6. –5 плюс 6 дава 1. Това е 5n плюс 1 или 1 плюс 5n. И по двата начина петдесетата фигура съдържа 251 клечки.