If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Разлагане на биноми без триъгълника на Паскал

Сал показва един "трик" за разлагане на биноми от висока степен без да се използва триъгълника на Паскал. Създадено от Сал Кан.

Видео транскрипция

В това видео искам да ти покажа нещо, което може да бъде описано като трик за намиране на биномни разлагания. Особено на биномни разлагания, където степента е много голяма . Но след това видео искам да помислиш как това свързва Нютоновия бином с триъгълника на Паскал. Нека ти покажа трика. Ще взема (х + у)^7. Това ще има 8 члена. Откъде знам това? (х + у)^1 има два члена, това е бином. (х + у)^2 има 3 члена. (х + у)^3 има 4 члена. Така че това ще има 8 члена. Нека създам малки раздели за всеки от членовете. Това е разделът, това не са коефициентите, това са просто разделите. Първи член, втори член, трети член, четвърти член, пети член, шести член, седми член и осми член. Нека запишем реалните стойности на х и у. Първият член – ще започнем с х^7. После при всеки следващ член, степента на х намалява с 1. Така че получаваш х^6, x^5, x^4, x^3, x^2, x^1. Можем просто да запишем това като х и това ще е х^0, което просто ще е 1. Нека сега помислим за у. Това ще започне от у^0, което е просто 1 и затова няма да го запиша. После това ще е у^1, y^2, y^3, y^4, y^5, y^6. И после е у^7 и можеш да се увериш, че това е вярно, понеже за всеки член степенните показатели трябва да дадат сбор от 7. Виждаш това дори тук. Това е (х^1) по (у^6). Тези дават сбор от 7. Нека преминем към интересната част, която е изчисляване на коефициента. Алгоритъмът е за всеки член тук, така че нека просто започнем. Знаем, че коефициентът ето тук ще е равен на 1. Нека запиша това. Коефициентът тук ще е 1. За всеки член коефициентът – ще опитам да го направя в различни цветове, за да можем да го видим – коефициентът ще е степенният показател от предишния член – който в този случай е 7 – степенният показател от предишния член (7) по коефициента от предишния член (1), делено на поредността на този член (1). Това беше първият член, така че сега коефициентът на втория член е (7 по 1)/7, което ще е равно на 7. А този? Използваме същия процес. Същият процес. Това ще е степенният показател на члена х, предполагам можеш да кажеш степенния показател на х. Степенният показател на х, което е 6, по коефициента от предишния член, тоест по 7, така че взимаме степента на х по коефициента на предишния член, тоест по 7. Степента на х на предишния член, по коефициента на предишния член, делено на, да го наречем, индекса на предишния член, тоест делено на 2. Колко ще е това? Това е равностойно на 3 по 7, така че това ще е равно на 21. Нека преминем към този член – напълно същата идея. Отиваме до предишния член – какъв е степенният показател за х? Той е 5. Нека го умножим по коефициента, така че нека го умножим по 21 и после да го разделим на който поред член е това, а това беше третият член. Това ще е, да видим, 5 по, 21 върху 3 е 7, така че това ще е 35, 5 по 7. И можем да продължим или можем да осъзнаем, че това тук е симетрия. Ако това е 1, тогава последният коефициент също ще е 1. Ако това е 7, тогава предпоследният коефициент също ще е 7. Ако коефициентът пред третия член е 21, тогава коефициентът пред третия член отзад напред също е 21. И ако четвъртият коефициент е 35, тогава и четвъртият коефициент отзад напред ще е 35. И ето така намерихме как се разлага (х + у)^7. Смятам, че е доста добре.