If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Триъгълник на Паскал и комбинаторика

Сал показва как образуването на стойностите от триъгълника на Паскал е свързано с формулата за комбинации (избираме n от k). Създадено от Сал Кан.

Видео транскрипция

В това видео искам допълнително да свържа разбирането ни за биномната теорема с комбинаториката – с триъгълника на Паскал. Да преговорим тези идеи отново, ако повдигаме (х + у) на трета степен и използвам това просто като пример, това е малко по-лесно за разбиране, че това е взимане на 3 еквивалентни израза и тяхното умножаване. Взимаш (х + у) по (х + у) по (х + у). Нека наречем това "първо" (х + у), "второ" (х + у) и "трето" (х + у). Ако гледаш разлагането и се запиташ по колко начина можем да направим 'х по у на квадрат' или друг начин да помислим за това е, че имаш тези 3 израза, тогава ще избереш 2 от тях, за да имаш у и да вземеш произведението. Например можеш да избереш израз 1 и израз 2, за да имаме у на квадрат. Можеш да избереш израз 1 и израз 3, за да имаш у на квадрат. Или можеш да вземеш израз 2 и израз 3, за да имаме у на квадрат. Разбира се, другите изрази ще допринесат за х. Имаш 3 израза общо и ще избереш 2 от тях, за да имаме у на квадрат тук. И затова имаш тази идея в комбинаториката, че това е комбинация от 3 елемента от 2-ри клас. Това е точно същата математическа задача – ако имаш 3 приятели и избираш 2 да се возят в колата с теб, като не те интересува в коя седалка ще седнат. Питаш се кои двама приятели да се возят в двуместната ти кола или кои са двамата приятели, които ще избереш. По същия начин тук, от трима приятели, кои са двамата, които ще избера да допринесат с у към това произведение, а после третият ще допринесе за х. Нека сега преминем към триъгълника на Паскал и се надявам да видим, че това наистина е много подобна идея. Можем да отидем до същия член, тоест членът х по (у на квадрат), това е ето тук. Триъгълника на Паскал винаги го визуализирам като карта. Това е възел в картата и мисля кои са различните начини, по които мога да стигна до този възел на картата. Мога да имам у на квадрат, и после да го умножа по х. Понеже умножаваме по х, направих тази права оранжева, или мога да имам ху и мога да умножа по синьо, тоест има две неща непосредствено над това, чрез които мога да стигна до тях, но има 2 начина да стигна до това, има 1 начин да стигна до това. Тоест комбинираните начини да стигна до това са 2 плюс 1, равно на 3. Просто за да направя връзката между това, което казахме, при всеки от тези възли избираме път, казваме, че избираме х или у от всеки от тези изрази. Номерираме изразите. Нека кажем, че това е израз 1, това е израз 2, това е израз 3. Казахме, че има 3 пътя, които ще ни доведат дотук, нека ги отбележим. Имаме този път, този път тук ни води до там, а това е еквивалентно на избиране на х от израз 1. Забележи, че избрахме лявата страна, после преминахме към дясната страна. Избираме у от израз 2, после избираме у от израз 3. При последните две избрахме десния път – синия път. Това е един начин – можем да изберем 2 у от тези 3 израза. Отново, един начин да изберем 2 у от 3 израза, но ни интересува не само този, интересуват ни всички различни пътища. Това беше един начин, друг начин ще е да се премине ето така. Избираме у от първия, х от втория, и после у от третия. Или избираш у от първия израз, у от втория израз и х от третия израз. Това е основно математическо ниво. Решаване на абсолютно същата задача. Надявам се, че това ти показва логиката зад това защо триъгълникът на Паскал е свързан с комбинаториката. И защо и двете са полезни за намиране на биномни разлагания.