Триъгълникът на Паскал и нютонов бином

В предишни видеа успяхме да приложим биномната теорема, за да открием колко е (а + b) на степен 4, за да обясним това. И го направихме. Беше малко досадно, но се надявам, че успя да го оцениш. Щеше да е полезно, ако го бяхме направили с по-висока степен – (а + b) на степен 7, (а + b) на степен 8. Но в това видео искам да ти покажа, че има друг начин да мислим за това – чрез използването на "Триъгълника на Паскал". Ако имаме време, също ще помислим за това защо тези две идеи са толкова тясно свързани. Вместо да правим (а + b) на степен 4, като използваме традиционната биномна теорема, или формула ето тук, ще пресметна това, като използвам "Триъгълника на Паскал" и някои от моделите, които знаем за разлагането. Отново, нека запиша това, което се опитваме да пресметнем. Опитваме се да пресметнем (а + b) на степен 4 – ще го направя в различен цвят – на степен 4. Ще направя един триъгълник на Паскал. Ще започнем с 1 на върха. И един начин да мислим за това е, че това е триъгълник, при който ако започнеш оттук, при всяко ниво броиш различните начини, по които можеш да достигнеш до различните възлови точки. Ще направя един триъгълник. Ако започна тук, има само един начин да стигна до тук и само един начин да стигна до тук. Но сега, на третото ниво – ако кажа "по колко начина мога да стигна до тук" – един начин да стигна тук, един начин да стигна до тук. Има два начина да стигна до тук. Един начин да стигна тук, един начин да стигна тук. Единственият начин да стигна тук е ето така. Но за да стигна тук, мога да премина така или така. После мога да добавя четвърто ниво – да видим, ако имам – има само един начин да стигна до там, но има 3 начина да стигна до тук. 1 плюс 3. Как така има 3 начина? Можеш да преминеш така, можеш да преминеш така, можеш да преминеш и така. Точно същата логика: има 3 начина да стигнеш дотук. После има само 1 начин да стигнеш до тази точка тук. Нека добавим пето ниво, понеже това ни интересува, когато мислим за нещо на 4-та степен. Това е степен 0 – двучлен на степен 0, на първа степен, на втора степен, на трета степен. Нека стигнем до четвърта степен. Колко начина има да стигнем дотам? Трябва да премина право надолу по лявата страна, за да стигна тук, така че има само един начин. Има 4 начина да стигна тук. Мога да премина така, така, така и мога да премина така. Има 6 начина да стигна тук.. 3 начина да стигна до това място, 3 начина да стигна до това място. Тоест 6 начина да стигна до това място и, ако имаш време, можеш да изчислиш това. Има 3 плюс 1 – 4 начина да стигна тук. И има само 1 начин да стигна тук. Сега твърдя, че това са коефициентите, когато повдигам нещо на – ако повдигам нещо на степен 0. Това е ако повдигам двучлен на първа степен, на втора степен. Очевидно в един двучлен на първа степен, коефициентите пред а и b са просто 1 и 1. Но когато повдигнеш на квадрат, това ще е а на квадрат плюс 2ab плюс b на квадрат. Ако повдигнеш на трета степен, това са коефициентите – трета степен. Това са коефициентите за четвърта степен. Нека ги запишем. Твърдя, че коефициентите ще са 1, 4, 6, 4 и 1. Как знам какви ще са степените на а и b? Започвам с а, започвам с този първи член, на най-високата степен: а на степен 4. После слизам надолу. а на четвърта, а на трета, а на квадрат, а на първа, и предполагам мога да запиша, а на степен 0, което, разбира се, е просто 1. После, за втория член започвам от най-ниската степен, от 0. После b на първа, b на квадрат, b на трета, а после b на четвърта. После просто събирам тези членове. Готово. Намерих разширението на (а + b) на степен 4. Точно това, което записах. Този член тук, а на четвърта, това е този член. а на степен 4, b на 0: това е просто а на степен 4. Този член тук е равен на този член ето тук. Предполагам можеш да видиш, че това ми даде същия резултат. Един интересен въпрос е: "Защо се получи?" Съветвам те да спреш видеото на пауза и да помислиш за това самостоятелно. За да осъзнаем защо работи, нека отидем до тези първи нива ето тук. Ако взема (а + b) на степен 2... (а + b) на степен 2... Това ще е, вече сме го виждали, това ще е (а + b) по (a + b), нека запиша това: (a + b)(a + b). Имаме а и а. Имаме b и b. Ще ги съберем. Когато ги умножиш, имаш – това ще е равно на а по а. Получаваш а на квадрат. Това е единственият начин да получиш а на квадрат. Има само един начин да получиш а на квадрат при това умножение. После ще имаш плюс а по b. Плюс а по b. После ще имаш плюс това b по това а, тоест, това ще е друго а по b. Плюс b по b, което е b на квадрат. Сега това тук е интересно. По колко начина можеш да получиш а на квадрат? Има само един начин. Умножаваш това а по това а. Има само един начин да стигнеш там. Колко начина има за получаване на b на квадрат? Колко начина има за получаване на b на квадрат? Има само един начин. Умножаваш това b по това b. Има само един начин да получиш това. Но колко начина има за получаване на ab тук? а на първа по b на първа. Има два начина. Можеш да умножиш това а по това b или това b по това а. Има 2 начина да получиш ab. Когато вземеш сбора на тези двете, остава а на квадрат плюс 2ab плюс b на квадрат. Забележи, че имаме точно същите коефициенти: 1, 2, 1 и 1, 2, 1. Защо това е така? Има само един начин да получиш а на квадрат, има 2 начина да получиш ab и има само един начин да получиш b на квадрат. Ако имаме трета степен, ще кажеш: "Има само един начин да стигнем до а на степен 3. Можеш просто да умножиш всички първи а. После има само един начин да получиш b на степен 3. Но има 3 начина да стигнеш до а на квадрат b. Можеш да го умножиш и това и направихме. Направихме това ето тук. Има 3 начина да получиш а на квадрат b. Видяхме това ето тук. Има 3 начина да получиш а по b на квадрат. 3 начина да получиш а по b на квадрат. Ако събереш това, имаш разлагането на (а + b) на степен 3. Надявам се, че това ти беше интересно.