Лице на снежинката на Кох (2 от 2)

Миналия път стигнахме до там, че намерихме лицето на снежинката на Кох. Това има неопределена обиколка, която може да се изрази като тази неопределена сума тук. И нашата работа в това видео е да се опитаме да опростим това, и да получим определена стойност. Нека дадем всичко от себе си, за да опростим това тук. Така че най-лесната част тук е да опростим. Нека се съсредоточим. Тогава, ако можем да намерим стойност за тази част, където разкривам скоби, можем да ползваме тази стойност тук и да опростим останалото. Скобите, които разкрих, това може да се препише като три пъти по четири девети плюс четири девети на квадрат, плюс четири девети на трета степен. И можем да продължаваме, и продължаваме така. Плюс четири девети на всяка друга степен, и т.н. до безкрайност! За наше щастие, има начин за пресмятане на тази безкрайна (геометрична) прогресия. Има начин за пресмятането й, и съм направил няколко видеоклипа, в които извършваме общи доказателства. Но този път ще го направя на ръка, за да не се налага да прибягваме до използването на някакви вълшебни формули. Така, да кажем, че е определена някаква сума, тази тук (нека я наречем S). И да кажем, че S е равна на това, което имаме тук в кръгли скоби. е е равно на четири девети, плюс четири девети на квадрат, плюс четири девети на трета степен, и т.н. до безкрайност. Нека кажем и това, че умножаваме S по четири девети. Как ще изглежда S с тези четири девети? Тогава тук умножавам всеки член по четири девети. Така че ако взема този първи член и го умножа по четири девети, какво ще получа? Ами ще получа четири девети на квадрат. Ако взема втория член и го умножа по четири девети, ще получа четири девети на трета степен. И ще продължим така до безкрайност. Та това е интересно. Когато умножа четири девети по това, получавам всички членове тук, с изключение на тези първи четири девети. Сега, това представлява магията, чрез която можем да намерим сумата от членовете на една безкрайна геометрична прогресия. Можем да извадим този член тук (розовата линия) от тази зелена линия. Ако го направим, определено това е равно на това, а това е равно на това. Така че ако извадим това от това, равносилното на изваждането на розовата част от зелената; така получаваме, че S минус четири девети по Sе равно на ... Ами, всеки друг член, този елемент минус този елемент ще се унищожат. И това ще се случва по целия път до безкрайност; а от дясната страна тук ще ни останат само четири девети. Тогава тези четири девети можем (S е равно на девет върху девет), това го записваме като девет върху девет по S минус четири девети по S, равно на четири девети. Така че девет върху девет минус четири върху девет по нещо, прави пет върху девет. Така тук се получава пет девети по S, равно на четири девети. Тогава за да намерим S (и това е малко като вълшебство, но всъщност си е доста логично). Умножаваме двете страни по обратното на това, т.е. по четири девети от двете страни. Тези елементи се съкращават, и получаваме, че S е равно на четири пети. Хубаво се получи! Показахме, че цялото това нещо тук е равно на четири пети. Така че цялата тази скоба, която решихме тук е равна на три пъти по четири пети. Цялата тази скоба е равна на дванадесет върху пет. Нека сега отидем на израза в началото, за да не изгубим следата на това, което правим. Имаме този квадратен корен от три пъти по S на квадрат върху шестнадесет. След това имаме тази четворка тук, плюс цялото нещо в скоби (опростено, то е равно на дванадесет пети). Само за да добавим тези двете заедно, можем да представим четири като двадесет пети, и тогава двадесет върху пет плюс дванадесет върху пет е тридесет и две върху пет. Нека запиша това тук. Това сега е ключов момент, много е вълнуващо! На път сме да намерим определеното лице не нещо, което е с неопределена обиколка! Та ще имаме корен квадратен от три пъти по S на квадрат върху шестнадесет. Умножено по тридесет и две върху пет. Можем да разделим тридесет и две в числителя на шестнадесет там, което прави две. Остана лицето на снежинката на Кох, (където равностранният триъгълник, с който започнахме в началото има за дължина на всяка от страните S) то е, два пъти по корен квадратен от три пъти по S на квадрат, всичко това върху пет. Например, ако този първия равностранен триъгълник е с дължина на страната едно, тогава лицето на това чудо (което има неопределена обиколка) ще е равно на два пъти квадратен корен от три върху пет. Както и да е, мисля, че беше страхотно.