Оценяване на производни

Дадена ни е таблица, за която е известно, че съдържа избрани стойности на диференцируемата функция f. Таблицата ни дава стойностите на функцията за няколко стойности на x, и по-конкретно, за пет различни стойности на x, и каква е съответната стойност на f(x) за тях. Питат ни, каква е най-близката стойност за f'(4)? Това е производната на функцията f за x = 4. Друг начин да мислиш за задачата е – какъв е наклонът (ъгловият коефициент) на допирателната, към графиката на функцията f(x), когато х=4? И така, каква е най-точната стойност за f'(4), която можем да направим с помощта на дадената таблица? Нека визуализираме какво се случва, преди да се обърнем към възможните отговори. Ще начертая една ос тук. И ще отбележа дадените точки. Знаем, че те ще лежат на кривата y = f(x). Когато x = 0, f(x) = 72. Тоест това е точката (0; 72). Тази е (3; 95). Очевидно използваме различен мащаб за осите x и y. Това е точката (5; 112). Тази е (6; 77). Тази е (9; 54), всъщност нека да запиша, че това е 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. Това, което искат от нас да намерим, е колко е производната на функцията, когато x = 4? Но не ни е известно, каква е стойността на f(4). Не знае коя е тази точка. Но целта на задачата е да се опитаме да направим най-точната преценка. Като използваме точките, дори не знаем как точно изглежда кривата. Би могла да изглежда по всякакви начини. Може да се опитаме да прокараме сравнително гладка крива. Кривата може да изглежда така. Но може и да е по-странна. Може да прави нещо такова. Ще се опитам да го направя. Може да изглежда и така. Не знаем със сигурност. Всичко, което знаем, е, че трябва да преминава през тези точки. Защото това са стойности на функцията в тези точки. За целите на това упражнение обаче, нека да предположим, че е най-простият вариант, т.е. че е хубава и гладка крива без много неравности и преминава през тези точки ето така. Това, което се иска, когато x = 4, ако тази жълта крива беше истинската крива, тогава какъв е наклонът на допирателната в тази точка? Ще визуализираме това. За да бъде ясно, тази допирателна, която току-що начертах ще отговаря на тази версия на функцията, която се получи, като свързах тези точки. Това не е нужно да е истинската функция. Знаем, че истинската функция трябва да минава през тези точки. Но просто правя това с цел онагледяване. Една от всички идеи тук е, че всичко, което имам, е извадка, и се опитваме да намерим най-точната приблизителна стойност. Не знаем дори дали ще е добро приближение. Просто ще бъде най-доброто възможно. Това, което правим обикновено, когато имаме някаква информация за точка, е да използваме други известни точки, които са най-близки до известната точка, и да намерим наклони на секущи, които се намират много близо до известната точка. Това ще ни даде най-доброто приближение за наклона на допирателната. Какви точки имаме в близост до f(4), или в близост до точката (4; f(4))? Дадено ни е на какво е равна f за x = 3. Имаме ето тази точка точно тук. Нека начертая това с друг цвят. И така, (3; 95), това е точно тук. Дават ни също (5; 112) Това е тази точка тук. Това, което можем да направим, е да се запитаме каква е средната скорост на изменение между тези две точки? Друг начин да мислиш за това е какъв е наклонът на секущата между тези две точки. И това ще бъде най-доброто приближение за наклона на допирателната, в точката x = 4. Знаем ли, дали това е добро приближение? Знаем ли дори дали е близо? Не, не знаем със сигурност, но това ще е най-доброто приближение. Ще бъде по-добре, отколкото да опитаме да вземем средната скорост на изменение между момента, в който x = 3 и x = 6. Или между x = 0 и x = 9. Тези са много близо до 4. Нека го направим. Нека намерим средната скорост на изменение в интервала между x = 3 и x = 5. Ето тук може да забележим изменението на x. Нека го направя в нов цвят. Изменението на x е равно на +2 И мога да го начертая. Изменението на x тук е +2 А изменението на y ще бъде, когато x нарасне с 2, изменението на y плюс, нека да видим, това е, ако прибавя 10, следва да стигна до 105. Ако прибавя още 7, това е +17. И така, това е +17 ето тук. +17 Следователно изменението на y върху изменението на x. Изменение на y върху изменение на x. За тази секуща, между точката x = 3 и точката x = 5, изменението ще бъде равно на 17/2. 17 върху 2 Което е равно на 8,5. Наклонът на тази зелена линия тук е 8,5. И това ще бъде най-доброто приближение за наклона на допирателната за x = 4, от кривата y = f(x). За щастие, хората, които са съставили задачата, използват същата логика, и са го направили ето тук. Не е необходимо да го чертаеш по начина, по който аз го направих. Целта беше просто да визуализирам какво се случва. По принцип, когато срещнеш въпрос като този, това, което действително ни казват, е, не разполагаш с всички данни, които са ти нужни, за да намериш точно колко е f'(4). Но можеш да намериш точки, които са близо, или в околност на f'(4), и да намериш секущата, средната стойност на наклона на секущата. Или средната скорост на изменение между тези точки, то това ще бъде най-доброто приближение за моментната скорост на изменение, в точката x = 4. Или производната в точката x = 4.