Деление на функции

f(х) = 2х^2 + 15х - 8. g(х) = х^2 + 10х + 16. Намери (f/g)(x). Или можеш да разглеждаш това като f, делено на g, от х. Въз основа на начина, по който го казах, придобиваш представа какво означава това. f/g или f, делено на g, от х – по определение това е просто друг начин да запишем f(х), делено на g(х). Можеш да гледаш на това като на функция на х, която е зададена от делението на f(х) на g(х) чрез създаване на рационален израз, при който f(х) е в числителя, а g(х) е в знаменателя. И това ще е равно на – тук ни дават, че f(х) е 2х^2 + 15х - 8. И g(х) е ето тук – ще направя това в синьо. Всичко това ще е върху g(х), което е х^2 + 10х + 16. И можеш да го оставиш така или можеш да опиташ да опростиш това. Най-лесният начин да опростим това е да видим дали можем да разложим изразите в числителя и знаменателя до по-прости изрази. Може би и числителят, и знаменателят са кратни на един и същи израз. Нека опитаме да разложим всеки от тях. Нека първо опитаме с числителя. Ще го направя ето тук Всъщност ще го направя тук долу. Ако гледам 2х^2 + 15х - 8, тук имаме израз от втора степен, където коефициентът пред х^2 не е 1. Една от техниките е да разложим това чрез групиране. Можеш да използваш и формулата за корените на квадратно уравнение. И когато разложиш чрез групиране, тогава ще разделиш този член, това 15х. И ще го разделиш на два члена, където коефициентите са – ако трябваше да взема произведението на тези коефициенти, те ще са равни на произведението на първия и последния член. И доказахме това в други видеа. Искаме да се сетим за две числа, чиито сбор е 15, но чието произведение е равно на -16. И това е просто техниката на разлагане чрез групиране. Тя е просто опит да се опрости това тук. Кои две числа, ако взема произведението им, ще ми дадат -16, а ако ги събера, ще получа 15? Ако взема произведението и получа отрицателно число, това означава, че трябва да имам различни знаци. Това означава, че едното от тях ще е положително, а едно от тях ще е отрицателно, което означава, че едно от тях ще е по-голямо от 15, а другото ще е по-малко от 15. Най-очевидните варианти ще са +16 и -1. Ако ги умножа, определено ще получа -16. Ако ги събера, определено ще получа 15. Можем да разделим това. Можем да преобразуваме този израз до 2х^2 + 2х^2 + 16х - х - 8. И тук просто взех средния член и, като използвах тази техника тук, го разделих на 16х - х, което очевидно все още е просто 15х. Полезното тук – и това е причината да го наричаме разлагане чрез групиране – е, че можем да видим дали има общи множители в първите два члена ето тук. И 2х^2, и 16х са кратни на 2х. Можеш да изнесеш 2х пред скоби от тези първите два члена. Това е същото нещо като 2х(х + 8). 16, делено на 2, е 8 и х, делено на х, е 1. Това е 2х(х + 8). И вторите два члена тук – това е цялата идея на разлагането чрез групиране – можем да изнесем -1. Това е равно на -1(х + 8). И хубавото тук е, че имаме два члена. И двата имат (х + 8) в тях. Така че можем да изнесем (х + 8) пред скоби. Ако изнесем (х + 8), ни остава (2х - 1) – слагаме скоби около това, по изнесеното (х + 8). Опростихме числителя. Числителят може да бъде преобразуван. И можеше да получиш това и чрез формулата за корените. Числителят е (2х - 1)(х + 8). И да видим сега дали можем да разложим знаменателя. И това е по-лесно. Коефициентът тук е 1. Така че просто трябва да се сетим за две числа, които, когато ги умножа, получавам 16. А когато ги събера, получавам 10. Очевидният вариант са 8 и 2, +8 и +2. Можем да преобразуваме това като (х + 2)(х + 8). И сега можем да опростим това. Можем да разделим числителя и знаменателя на (х + 8), приемайки, че х не е равно на -8. Понеже тази функция тук, която е зададена от f/g, не е определена, когато g(х) = 0, понеже тогава ще имаш нещо, делено на 0. И единствените случаи, когато g(х) е равно на 0, са когато х = -2 или х = -8. Ако разделим числителя и знаменателя на (х + 8), за да опростим това, за да не промeняме първоначалната функция, трябва да поставим ограничение, че х не може да е равно на -8. Първоначалната функция, за да не я променим – понеже, ако просто съкратим тези двете, новата функция след съкращаването ще е зададена, когато х = -8. Но искаме това опростено нещо да е точно същата функция и тази функция не е определена, когато х = -8... Сега можем да преобразуваме (f/g)(х), което е просто f(х), делено на g(х), да е равно на (2х - 1) върху (х + 2). Трябва да поставиш условието, че х не може да е равно на -8. Ако пропуснеш това условие, тогава това няма да е точно същата функция като тази, понеже тази не е определена, когато х е равно на -8.