Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ > Раздел 4

Урок 5: Съставна функция

Съставяне на функция от функция

Разглеждане на задачи с примери, обяснения и упражнения, за да научиш как да намираш и изчисляваш сложни съставни функции.

Като са дадени две функции, можем да ги комбинираме по такъв начин, че изходящите стойностите на едната функция да станат аргументи на другата. По този начин получаваме сложна функция или функция от функция. Нека видим какво означава това!

Изчисляване на сложни функции

Пример

Ако

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

, тогава колко е

f (g (3))

Решение

Единият начин да изчислим колко е

f (g (3))

, е да започнем "отвътре навън". Казано по друг начин, нека изчислим първо колко е

g (3)

и след това да заместим с този резултат в

f

, за да намерим отговора.

Нека изчислим колко е

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = x^{3} + 2 \\ g (3) & = (3)^{3} + 2 Заместваме x = 3. \\ = 29 \end{aligned}$ ‍

Тъй като

g (3) = 29

, тогава

f (g (3)) = f (29)

Нека сега изчислим колко е

f (29)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (29) & = 3 (29) - 1 Заместваме x = 29. \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

От това следва, че

f (g (3)) = f (29) = 86

Намиране на сложната функция

В горния пример функция

g

отнесе

3

до

29

и след това функция

f

отнесе

29

до

86

. Нека намерим функцията, която отнася

3

директно до

86

За да го направим, трябва да комбинираме двете функции и да намерим

f (g (x))

Пример

Колко е

f (g (x))

?
Като препратка, припомни си, че $f (x) = 3 x - 1$ ‍ и $g (x) = x^{3} + 2$ ‍.

Решение

Ако разгледаме примера

f (g (x))

, виждаме, че

g (x)

е аргументът на функция

f

. Следователно нека заместим с

g (x)

навсякъде, където видим

x

във функция

f

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (g (x)) & = 3 (g (x)) - 1 \end{aligned}$ ‍

Тъй като

g (x) = x^{3} + 2

, можем да заместим с

x^{3} + 2

за

g (x)

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 (g (x)) - 1 \\ = 3 (x^{3} + 2) - 1 \\ = 3 x^{3} + 6 - 1 \\ = 3 x^{3} + 5 \end{aligned}$ ‍

Тази нова функция би трябвало да отнесе

3

директно до

86

. Нека го проверим.

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 x^{3} + 5 \\ f (g (3)) & = 3 (3)^{3} + 5 \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

Чудесно!

Да се упражним

Задача 1

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

Изчисли колко е $g (f (1))$ ‍.

За да изчислим

g (f (1))

, нека започнем "отвътре навън".

Нека изчислим колко е

f (1)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (1) & = 3 (1) - 1 Заместваме x = 1. \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

Тъй като

f (1) = 2

, тогава

g (f (1)) = g (2)

Нека сега изчислим колко е

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = x^{3} + 2 \\ g (2) & = (2)^{3} + 2 Заместваме x = 2. \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

От това следва, че

g (f (1)) = g (2) = 10

Можем да намерим също

g (f (x))

и да я изчислим за

x = 1

Задача 2

m (x) = 3 x - 2

n (x) = x + 4

Намери колко е $m (n (x))$ ‍.

Ако разгледаме израза

m (n (x))

, виждаме, че

n (x)

е аргументът на функция

m

. Следователно нека заместим с

n (x)

навсякъде, където виждаме

x

във функция

m

$\begin{aligned} m (x) & = 3 x - 2 \\ m (n (x)) & = 3 (n (x)) - 2 \end{aligned}$ ‍

Тъй като

n (x) = x + 4

, можем да заместим с

x + 4

за

n (x)

$\begin{aligned} m (n (x)) & = 3 (x + 4) - 2 \\ = 3 x + 12 - 2 \\ = 3 x + 10 \end{aligned}$ ‍

Сложни функции: формално определение

В горния пример намерихме и изчислихме една сложна функция.

Като цяло, за да отбележим, че

f

е функция от функцията

g

, можем да напишем

f \circ g

, което се чете като "

f

суперпозиция на

g

". Това се определя от следното правило:

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ ‍

Диаграмата по-долу показва връзката между

(f \circ g) (x)

f (g (x))

Нека сега разгледаме друг пример, като имаме предвид това ново определение.

Пример

g (x) = x + 4

h (x) = x^{2} - 2 x

Намери

(h \circ g) (x)

(h \circ g) (- 2)

Решение

Можем да намерим

(h \circ g) (x)

по следния начин:

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = h (g (x)) & Определяме. \\ = (g (x))^{2} - 2 (g (x)) & Заместваме с g (x) за x във функция h . \\ = (x + 4)^{2} - 2 (x + 4) & Заместваме с x + 4 за g (x) . \\ = x^{2} + 8 x + 16 - 2 x - 8 & Разкриваме скобите и умножаваме. \\ = x^{2} + 6 x + 8 & Обединяваме подобните членове. \end{aligned}$ ‍

Тъй като сега имаме функция

h \circ g

, можем просто да заместим с

- 2

за

x

, за да намерим

(h \circ g) (- 2)

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = x^{2} + 6 x + 8 \\ (h \circ g) (- 2) & = (- 2)^{2} + 6 (- 2) + 8 \\ = 4 - 12 + 8 \\ = 0 \end{aligned}$ ‍

Разбира се, можем също да намерим

(h \circ g) (- 2)

, като изчислим

h (g (- 2))

. Това е показано по-долу:

$\begin{aligned} (h \circ g) (- 2) & = h (g (- 2)) \\ = h (2) Тъй като g (- 2) = - 2 + 4 = 2 \\ = 0 Тъй като h (2) = 2^{2} - 2 (2) = 0 \end{aligned}$ ‍

Диаграмата по-долу показва как

(h \circ g) (- 2)

е свързана с

h (g (- 2))

Тук виждаме, че функция

g

отнася

- 2

до

2

и след това функция

h

отнася

2

до

0

, докато функция

h \circ g

отнася

- 2

директно до

0

Нека сега се упражним с няколко задачи

Задача 3

f (x) = 3 x - 5

g (x) = 3 - 2 x

Изчисли $(g \circ f) (3)$ ‍.

Нека първо използваме определението за сложна съставна функция, за да напишем задачата като

g (f (3))

За да изчислим

g (f (3))

, нека започнем "отвътре навън".

Нека изчислим

f (3)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 5 \\ f (3) & = 3 (3) - 5 Заместваме x = 3. \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

Тъй като

f (3) = 4

, тогава

g (f (3)) = g (4)

Сега нека намерим

g (4)

$\begin{aligned} g (x) & = 3 - 2 x \\ g (4) & = 3 - 2 (4) Заместваме x = 4. \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

От това следва, че

g (f (3)) = g (4) = - 5

Можем също да намерим

g (f (x))

и да я изчислим за

x = 3

В задачи 4 и 5 нека

f (t) = t - 2

g (t) = t^{2} + 5

Задача 4

Намери колко е $(g \circ f) (t)$ ‍.

Като използваме определението за съставяне на функции, можем първо да напишем

(g \circ f) (t)

като

g (f (t))

Сега ако разгледаме израза

g (f (t))

, виждаме, че

f (t)

е аргументът на функция

g

. Следователно нека заместим с

f (t)

навсякъде, където виждаме

t

във функция

g

$\begin{aligned} g (t) & = t^{2} + 5 \\ g (f (t)) & = (f (t))^{2} + 5 \end{aligned}$ ‍

Тъй като

f (t) = t - 2

, можем да заместим с

t - 2

за

f (t)

$\begin{aligned} g (f (t)) & = (f (t))^{2} + 5 \\ = (t - 2)^{2} + 5 \\ = t^{2} - 4 t + 4 + 5 \\ = t^{2} - 4 t + 9 \end{aligned}$ ‍

Задача 5

Намери $(f \circ g) (t)$ ‍.

Като използваме определението за съставяне на функции, можем първо да напишем

(f \circ g) (t)

като

f (g (t))

Сега, ако разгледаме израза

f (g (t))

, виждаме, че

g (t)

е аргументът на функция

f

. Така че нека заместим с

g (t)

навсякъде, където виждаме

t

във функция

f

$\begin{aligned} f (t) & = t - 2 \\ f (g (t)) & = (g (t)) - 2 \end{aligned}$ ‍

Тъй като

g (t) = t^{2} + 5

, можем да заместим с

t^{2} + 5

за

g (t)

$\begin{aligned} f (g (t)) & = (g (t)) - 2 \\ = (t^{2} + 5) - 2 \\ = t^{2} + 5 - 2 \\ = t^{2} + 3 \end{aligned}$ ‍

Задача за самостоятелна работа

Графиките на уравненията

y = f (x)

y = g (x)

са показани в квадратната система по-долу.

Кой от следните изрази дава най-близката стойност на $(f \circ g) (8)$ ‍?

От определението, знаем че

(f \circ g) (8) = f (g (8))

. За да изчислим

f (g (8))

, нека започнем "отвътре навън".

Гледайки графиката на

g

, виждаме че

g (8) = 2

Тъй като

g (8) = 2

, то тогава

f (g (8)) = f (2)

. Сега нека намерим

f (2)

Гледайки графиката на

f

, виждаме, че

f (2) = - 3

Следователно

f (g (8)) = f (2) = - 3

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.