Кам е фермер. Всяка година той засява и отглежда царевица. Функцията по-долу ни дава количеството царевица $С$‍ в килограми (kg), която той очаква да отгледа, ако засее $а$‍ акъра земя.

Например, ако Кам засее два акра, той очаква да произведе $С(2)=7500(2)-1500=13500$‍ $\text{кг}$‍ царевица.

Кам иска да знае колко пари ще спечели от продажбата на царевицата. Затова той използва следната функция, за да предскаже сумата $М$‍ в долари, която ще получи от продажбата на $с$‍ килограма царевица.

Ако Кам произведе $13500\text{ кг}$‍ царевица, може да очаква приходи от $M(13500)=0,9(13500)-50=12100$‍.

Забележи, че Кам трябва да използва две отделни функции, за да изчисли очакваните приходи от засетите акри. Първата функция $С$‍ преобръща акри в царевица, докато втората функция $М$‍ преобръща количеството царевица в пари.

Нямаше ли да е чудесно, ако Кам можеше да състави функция, която да преобърне засети акри директно в очаквани приходи?

Можем да намерим функцията, която преобръща засети акри директно в очаквани приходи! За да намерим тази нова функция, нека помислим за най-основния въпрос: колко пари очаква Кам да получи, ако засее царевица на $а$‍ акъра земя?

Ако Кам засади царевица на $a$‍ акра, той очаква да произведе $C(a)$‍ килограма царевица. Ако произведе $C(a)$‍ килограма царевица, той очаква да получи $M(C(a))$‍ долара.

За да намерим общо правило, което преобръща $а$‍ акри директно в очаквани приходи, можем да намерим израза $М(С(а))$‍.

Но как да направим това? Забележи, че в израза $M(C(a))$‍ входящата стойност на функция $М$‍ е $C(a)$‍. Тоест, за да намерим този израз, можем да заместим $C(a)$‍ за $c$‍ във функция $М$‍.

Тоест, функцията $M(C(a))=6750a-1400$‍ преобръща засети акри директно в очаквани приходи. Нека използваме тази нова функция, за да предвидим сумата пари, които Кам може да получи от засяването на два акра царевица.

Кам може да очаква да получи $12100$‍ долара от засяването на два акра царевица, което съответства на предишните ни стойности!

Това, което току-що намерихме, се нарича съставна (сложна) функция. Вместо да заместваме засети акри във функцията за царевицата и след това да заместваме количеството произведена царевица във функцията за приходите, открихме функция, която превръща засетите акри директно в очаквани приходи.

Направихме това като заместихме $С(а)$‍ във функция $М$‍ или като намерихме $М(С(а))$‍. Нека наречем тази нова функция $M\circ C$‍, което се чете като "$М$‍ е съставена с $С$‍".

Сега знаем, че $(M\circ C)(a)=M(C(a))$‍. Това всъщност е приетото определение за съставна функция!

Ето визуално представяне, което да ни помогне да интерпретираме горното определение.

Като използваме двете функции $С$‍ и $М$‍, функцията $С$‍ – функцията за царевицата – превръща два акра в 13 500 килограма царевица. После функцията $М$‍ – функцията за парите – превръща 13 500 килограма царевица в 12 100 долара.

Използвайки съставната функция, виждаме, че функцията $M\circ C$‍ превръща два акра директно в 12 100 долара.

Двете са еквивалентни!

Бен отглежда картофи. Функцията $P(a)=25000a-1000$‍ дава количеството картофи $Р$‍ в килограми, които той очаква да произведе от засяването на $а$‍ акра земя. Функцията $M(p)=0,2p-200$‍ дава сумата $М$‍ в долари, която Бен очаква да получи, ако произведе $р$‍ килограма картофи.