If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Симетрия на многочлени

Научи как да определяме дали дадена многочленна функция е четна, нечетна, или нито едно от двете.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Една функция е четна функция, ако графиката ѝ е симетрична спрямо оста у.
Алгебрично f е четна функция, ако f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis за всички х.
Една функция е нечетна функция, ако графиката ѝ е симетрична спрямо началната точка на координатната система.
Алгебрично f е нечетна функция, ако f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis за всички х.
Ако това е ново за теб, препоръчваме да видиш въведение в симетрия на функции.

Какво ще научиш в този урок

Ще научиш как да определиш дали един полином е четен, нечетен или нито едно от двете, въз основа на уравнението на полинома.

Изследване: Симетрия на едночлени

Едночлен е полином с един член. Едночлените има вида f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, където а е реално число и n е цяло число по-голямо от или равно на 0.
В това изследване ще анализираме симетрията на няколко едночлена, за да видим дали можем да открием общите условия за един едночлен да е четен или нечетен.
Като цяло, за да определим дали една функция f е четна, нечетна или нито четна, нито нечетна, анализираме уравнението за f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis:
  • Ако f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis е същото като f, left parenthesis, x, right parenthesis, тогава знаем, че f е четна.
  • Ако f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis е противоположното на f, left parenthesis, x, right parenthesis, тогава знаем, че f е нечетна.
    • В противен случай не е нито четна, нито нечетна.
Като първи пример нека определим дали f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, cubed е четна, нечетна или нито едното.
f(x)=4(x)3=4(x3)(x)3=x3=4x3Опрости=f(x)След като f(x)=4x3\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=4(\blueD{-x})^3\\ \\ &=4(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=-4x^3&&\small{\gray{\text{Опрости}}}\\ \\ &=-f(x)&&\small{\gray{\text{След като $f(x)=4x^3$}}}\\ \end{aligned}
Тук f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis и затова функцията f е нечетна функция.
Сега опитай няколко примера самостоятелно, за да видиш дали можеш да намериш модел.
1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared четна, нечетна или нито едно от двете е?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, 5, end superscript четна, нечетна или нито едно от двете е?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Заключение на изследването

От горните задачи виждаме, че ако f е едночленна функция на четна степен, тогава функцията f е четна функция. Подобно, ако f е едночленна функция на нечетна степен, тогава функцията f е нечетна функция.
Четна функцияНечетна функция
Примериg, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscripth, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, end superscript
Като цялоf, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #aa87ff, n, end color #aa87ff, end superscript където n е start color #aa87ff, start text, ч, е, т, н, а, end text, end color #aa87fff, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #1fab54, n, end color #1fab54, end superscript където n е start color #1fab54, start text, н, е, ч, е, т, н, а, end text, end color #1fab54
Това е понеже left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, x, start superscript, n, end superscript където n е четна и left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, minus, x, start superscript, n, end superscript където n е нечетна.
Това вероятно е причината четните и нечетните функции да са били наречени така.

Изследване: Симетрия на полиноми

В това изследване ще проучим симетрията на полиномите с повече от един член.

Пример 1: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

За да определим дали f е четна, нечетна или нито едното, намираме f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
f(x)=2(x)43(x)25=2(x4)3(x2)5(x)n=xnкогато n е четно=2x43x25Опрости=f(x)След като f(x)=2x43x25\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-3(\blueD{-x})^2-5\\ \\ &=2(x^4)-3(x^2)-5&&\small{\gray{(-x)^n=x^n\text{когато $n$ е четно}}}\\ \\ &=2x^4-3x^2-5&&\small{\gray{\text{Опрости}}}\\\\ &=f(x)&&\small{\gray{\text{След като } f(x)=2x^4-3x^2-5}} \end{aligned}
След като f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, функцията f е четна функция.
Забележи, че всички членове на f са на четна степен.

Пример 2: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

Отново започваме като намираме g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
g(x)=5(x)73(x)3+(x)=5(x7)3(x3)+(x)(x)n=xn когато n е нечетно=5x7+3x3xОпрости\begin{aligned}g(\blueD{-x})&=5(\blueD{-x})^7-3(\blueD{-x})^3+(\blueD{-x})\\ \\ &=5(-x^7)-3(-x^3)+(-x)&&\small{\gray{(-x)^n=-x^n\text{ когато $n$ е нечетно}}}\\ \\ &=-5x^7+3x^3-x&&\small{\gray{\text{Опрости}}}\\ \end{aligned}
В този момент забележи, че всеки член в g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis е противоположното на всеки член в g, left parenthesis, x, right parenthesis. С други думи, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, g, left parenthesis, x, right parenthesis и затова g е нечетна функция.
Забележи, че всички членове на g са на нечетна степен.

Пример 3: h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Нека намерим h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
h(x)=2(x)47(x)3=2(x4)7(x3)(x)4=x4 и (x)3=x3=2x4+7x3Опрости\begin{aligned}h(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-7(\blueD{-x})^3\\ \\ &=2(x^4)-7(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^4=x^4\text{ и } (-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=2x^4+7x^3&&\small{\gray{\text{Опрости}}}\\\\ \end{aligned}
2, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 7, x, cubed не е същото като h, left parenthesis, x, right parenthesis, нито е противоположното на h, left parenthesis, x, right parenthesis.
Математически, h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, h, left parenthesis, x, right parenthesis и h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, minus, h, left parenthesis, x, right parenthesis така че h не е нито четна, нито нечетна.
Обърни внимание, че h съдържа един член на честна степен и един на нечетна степен.

Заключение на изследването

Като цяло можем да определим дали един полином е четен, нечетен или нито едното като проучим всеки отделен член.
empty spaceГенерално правилоПримерен полином
ЧетенЕдин полином е четен, ако всеки член е четна функция.f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5
НечетенЕдин полином е нечетен, ако всеки член е нечетна функция.g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x
Нито еднотоЕдин полином е нито четен, нито нечетен, ако е изграден и от четни, и от нечетни функции.h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Провери знанията си

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 5 четна, нечетна или нито едно от двете е?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

4) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 6, x, cubed, plus, x, squared четна, нечетна или нито едно от двете е?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

5) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 10, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x четна, нечетна или нито едното е?
Избери един отговор:
Избери един отговор: