Формално определение на граници, част 2: изграждане на представа

Сега ще изведем математически издържано определение за твърдението, че границата на f(x) при х, клонящо към с, е равна на L. Да кажем, че това означава, че стойността на f(x) може да е произволно близка до L. Ще сложа кавички около „произволно близко‟, тъй като е твърде неясно колко точно близко е това. Но то става произволно близко, когато х е достатъчно близо до с. Друг начин да кажем това е, че искаме f(x) да бъде на разстояние например до 0,5 от границата. Така казваме, че ако тази граница е вярна, то ще можем да намерим такава стойност x в околността на с, за която f(x) да бъде на желаната близост до числото L. Ще го начертая, за да стане по-ясно и ще приближа. Ще начертая друга графика. Това е оста у. Приближавам. Ще начертая малко по-различна функция, за да можем да се фокусираме в околността на с. Интересува ме околността на с и околността на L. Tова са х и у. Тук е числото с. Ще приближа графиката на нашата функция. Функцията изглежда така. Мога да избера тя да е недефинирана за с. Можеше и да е определена, тогава пак щяхме да имаме граница. Но в нашия пример функцията изглежда така. Може да има и някаква кривина, както я начертах. В тази точка е неопределена. Ще я променя малко. И така, функцията е неопределена за х=с. В тази точка имаме прекъсване, отстранимо прекъсване за х=с, където функцията е неопределена. Дори има и малка кривина тук. Искаме да докажем, че границата при х, клонящо към с на у=f(x), чиято графика имаме... искаме да разберем смисъла според това определение, ако кажем, че границата на f(x) при х, клонящо към с е равна на L. На практика вече знаем това, че ето тук е числото L. Но какво казва определението? Буквално, че f(x) може да се доближи произволно близо до L. Ако ти кажа, че искам да накараш f(x) да бъде в даден интервал около L, тогава, ако границата е вярна, ако границата на f(x) за х, клонящо към с, наистина е равна на L, то ще можеш да намериш такъв интервал около с, всички х от който да дават стойност на f(x) в искания от мен интервал. Сега ще направя това упражнение. То е малко като игра. И така, идвам и ти казвам, че не вярвам напълно на твоето твърдение, че границата на f(x), когато х клони към с е равна на L. Може да е така, но може и да не е. Но съм напълно съгласен с горното определение. И искам точност от 0,5. Искам f(x) да бъде близо до L с точност от 0,5. Тук е L + 0,5, а тук е L минус 0,5. Тогава ти можеш да ми дадеш интервал около c, всяко х от който да дава f(x) oт моя интервал около L. И така, поглеждаш тази графика, защото очевидно нямаме определението на f, но дори и на око това се вижда на графиката. Няма да е лесно за всички функции, но при тази става: ето така намираш интервал, като спускаш вертикали. Да речем, че тук е с – 0,25, а тази стойност на х е с + 0,25. И можеш да ми кажеш: докато х се намира на разстояние до 0,25 от с, докато е в този интервал, то съответната му стойност на f(x) ще е в моя интервал, който зададох в началото. И така, ти печелиш в този пример. Сега ще усложня малко. Ако кажа, че искам вместо 0,5 точността да бъде 0,05? Ти ще повториш същото, за да ми дадеш друг интервал. За да бъде вярно това, ще трябва винаги да можеш да правиш това за всяка дадена точност. За всеки интервал около L трябва да можеш да получиш f(x) с неговата точност, като дадеш съответния интервал около с. Така докато х е в твоята околност на с, f(x) ще бъде в този интервал. Ще те оставя да помислиш малко над това. Има много за осмисляне. Но се надявам да стана ясно. Направихме го за примера с точност от 0,5 около L, в който казах, че докато х е с точност 0,25 около с, условието ще е изпълнено. Трябва да можеш да направиш това за произволна точност, която ти дадат за L. Тогава границата със сигурност ще е равна на L. В следващото видео ще обобщим това. Така ще изведем известното епсилон-делта определение за граници.