Формално определение на граници, част 1: преговор на интуитивното обяснение

Да си опресним представата какво означава граница. Ще използвам графика в координатна система. Това е оста у, старая се да е вертикална, ето така. А тук е оста х. Избирам фокус в първи квадрант, макар да е произволно. И така, това е оста х. А сега ще начертая графиката на функция. Да кажем, че функцията изглежда така. Може да е всякаква, но това е подходящо. Това е графиката на у = f(x). За да разберем смисъла, ще избера една точка, в която не е дефинирана. Това не е задължително. Можем да намерим границата, когато х клони към точка, в която функцията е дефинирана, но така ми е по-интересно и се вижда по-ясно значението на границата, когато функцията не е дефинирана в тази точка. Както съм я начертал, тази функция не е дефинирана за х = с. Начинът, по който разсъждаваме за границите, е този: към какво се доближава f(x), когато х се стреми към с? Да помислим малко за това. Когато х е доста по-малко от с, нашата функция f(x) e eто тук. На това ще е равно f(x). На тази стойност на у. Когато х се доближи повече до с, f(x) идва тук. Когато х се доближи още повече, почти до с, но не съвсем, тогава f(x) вече е тук. Виждаме, че нашата функция, когато х се доближава до с, изглежда, че f(x) се доближава все повече до тази стойност тук. Ще начертая по-дебела линия. Това е един случай, в който х се доближава до с отляво, откъм по-малките от с числа. Но какво ще стане, когато се приближим до с откъм стойностите на х, които са по-големи от с? Когато х е ето тук, f(x) e тук горе. f(x) е стойността по у чак тук горе. Когато х се доближи малко повече до с, f(x) идва тук. Когато х стане съвсем мъничко по-голямо от с, f(x) вече е ето тук. Отново виждаме, че на графиката изглежда, че функцията приближава същата стойност. Наричаме тази стойност, към която функцията f(x) изглежда, че се стреми, когато х клони към с, наричаме това граница и я отбелязваме с L. Обозначението всъщност идва от думата за граница на английски. Не е задължително винаги да използваме L, но това показва, че става въпрос за граница. Имаме и математически запис, който показва, че границата на функцията f при х, клонящо към с, е равна на L. Toва е добро разбиране на идеята за граници и то може да ти свърши доста работа, след него можеш да продължиш и да работиш с много видове граници, но то не е съвсем математически издържано определение за граница. Това само задава основното разбиране, а в следващите клипове ще въведем и математически издържаното определение за граници, което ще ни позволи да докажем, че границата при х, клонящо към с наистина е равна на L.