Анализиране на безкрайни граници: смесена функция

Дадено е, че f(x) е равно на х върху 1 минус косинус от (х – 2) и се търси правилното описание на лявата и дясната граница на f при х = 2. Виждаме, че точно за х = 2, ако се опитаме да изчислим f(2) ще получим 2 върху 1 минус косинус от 2 - 2, което е косинус от 0, а знаем, че косинус от 0 е 1, затова знаменателят става 1 – 1 = 0 и функцията е неопределена за х = 2; точно затова е предизвикателно да намерим границата, когато х клони към 2, по-точно едностранната граница. Лявата и дясната граница. Очевидно тук не можем да продължим, затова да опитаме да се доближим. Има два начина на действие. Единият начин е без калкулатор, като изследваме какво се случва и мислим за свойствата на функцията косинус: ако това те вдъхновява, остави видеото на пауза и опитай така, а аз ще го обясня на края. Другият начин изисква калкулатор и за него ще направя подобна таблица, както в другите примерни задачи. Първо мислим за случая, когато х клони към 2 от положителната посока, тук ще е таблицата за него. Колоните са за х и за f(x). Приближаваме се към 2 откъм числата, по-големи от 2. Взимаме 2,1 и 2,01. Причината да е нужен калкулатор е, че тези стойности не са лесни за изчисление. Тук ще имаме 2,1 върху 1 минус косинус от 2,1 минус 2, или 0,1. Не мога да намеря косинус от 0,1 без калкулатор. Знам, че косинус от 0 е 1, значи това е много близо до 1, но без да го достига, също знам, че е по-малко от 1. Косинусът никога не е по-голям от единица. Стойностите на функцията косинус са в интервала от –1 до 1. Мога да напиша и само х, няма нужда от скоби. Функцията е по-малка или равна на 1. Косинусът просто циркулира между тези две стойности. Значи това тук се доближава до 1, но е по-малко от 1. Определено не може да бъде по-голямо от 1, а това е добър знак за това как да изследваме този израз. После да намерим f(2,01). Това е 2,01 отгоре, върху 1 минус косинус от 0,01. Тук косинусът е още по-близо до 1, отново без да го достига или надвишава. При всички положения косинусът от всяко число е винаги между –1 и +1, включително може да е равен на тях. Но когато се доближаваме до 2, тази стойност клони към 1, можем да кажем, че се стреми към 1 отдолу. Вече може би започваш да виждаш логиката тук. След като се стреми към 1 отдолу, то целият този израз ще бъде положителен, когато х клони към 2. Имаме положителен знаменател. Числителят е близо до 2. Значи цялото частно трябва да се стреми към положителна стойност или дори към безкрайност, но в положителна посока. Наистина е безкрайност, защото тук на втория ред сме още по-близо до 1 от първия, което веднага ще проличи, ако имаш калкулатор. Ясно е, че този израз е неограничен в положителната посока, значи расте към плюс безкрайност, както е в първите два отговора. Можем да направим същите разсъждения и за лявата граница, когато х клони към 2 отдолу. Тук имаме х, а тук е f(x). Отново съм без калкулатор. Можеш да пресметнеш тези стойности с калкулатор и да се убедиш, че са положителни и с доближаването до 2 стават все по-големи положителни числа. Същото ще стане и когато изчислим за 1,9 и за 1,99. Защото тук ще имаме 1,9 върху 1 минус косинус, тук ще е от 1,9 – 2, което е минус 0,1. Отварям малко място. На втория ред е 1,99 върху 1 минус косинус от –0,01. Знаем, че косинус от минус 0,1 е равен на косинус от 0,1. Също и косинус от –0,01 е равен на косинус от 0,01. Тук знаменателят ще е равен на предишния, съответно и тези два знаменателя са равни. Отново се стремим към плюс безкрайност, затова единственият възможен верен отговор остава първият. Независимо дали гледаме лявата или дясната граница, все се стремим към плюс безкрайност. Другият начин да разберем това е да видим, че когато х клони към 2, числителят ще е положителен, защото 2 е положително. а долу в знаменателя имаме косинус, който не може да е по-голям от 1. Това ще клони към 1, но ще е по-малко от 1. Ето тук, това е по-малко от 1, когато х клони към 2; то става 1 тогава, когато х е равно на 2. Значи знаменателят, който е 1 минус число, по-малко от 1, е положителен: имаме положително делено на положително, значи определено получаваме положителни стойности, когато се стремим към 2. Знаем и вече ни е дадено, че границите са неистински заради възможните отговори, затова и по този начин ще избереш първия отговор, Но трябва и да можеш да си докажеш, че колкото по-близо сме до 2, толкова по-близо ето тази стойност е до нулата. И колкото по-близо е до нулата тази стойност, толкова по-близо е това до 1. Съответно знаменателят става все по-малък. Знаем, че когато делим на все по-малки знаменатели, то тогава отиваме към безкрайност: точно това виждаме и в първия отговор.