Сравнение между едностранни и двустранни граници (графично)

Тук имаме дадена графика на функция, и искам да помислим каква е границата на f(х), когато х клони към 3. За да определим това, нека да помислим за границата, когато х клони към 3 от стойности по-малки от 3, и после от стойности по-големи от 3. Първо да помислим за границата на f(х), когато х клони към 3 от стойности по-малки от 3. Този малък отрицателен индекс показва, че приближаваме до 3 отдолу. От 1, 2, 2,5, 2,99, 2,999. Ако приближаваме... това тук е 3. Тук определяме границата отляво. Първо се приближаваме към 3 от тази посока. Когато х = 0, f(х) е тук. Когато х = 1, f(х) е тук. Когато х = 2, f(х) е тук. Когато х = 2,5, f(х) е равно на 5. Когато х е приблизително 2 и 3/4, получаваме 4... Изглежда, че f(х) стига до 4,5. Изглежда, че когато х клони към 3 от стойности по-малки от 3, функцията клони към 4. Бих казал, че границата отляво, когато х клони към 3, границата на f(х) е 4. Сега да направим същото нещо за дясната страна. Границата на f(х), когато х клони към 3 от стойности, по-големи от 3. Обърни внимание, че когато х е равно на 5, f(х) е тук горе. Когато х е равно на 4, f(х) е тук. Когато х е равно на 3 и 1/2, изглежда че f(х) е малко под 2. Изглежда, че се приближаваме все повече и повече, когато х клони към 3 от положителната посока или отдясно, изглежда, че f(х) се приближава все повече и повече до 1. Можем да кажем, въз основа на тази графика, че границата на f(х), когато х клони към 3 от положителната посока, границата е равна на 1. Сега имаме проблем. За да съществува тази граница, трябва да са равни стойностите, когато се приближаваме отляво и когато приближаваме отдясно, но тук очевидно не се приближаваме до една и съща стойност, когато идваме отляво и когато идваме отдясно. Значи тук не съществува граница. Не съществува. Единственият начин тук да съществува граница, е ако получим една и съща стойност и от двете страни, тогава границата ще е равна на тази стойност. Но ние определено не получаваме една и съща стойност.