Тук имаме дадена
графика на функция, и искам да помислим каква е границата на f(х), когато
х клони към 3. За да определим това,
нека да помислим за границата, когато х клони към 3 от
стойности по-малки от 3, и после от стойности
по-големи от 3. Първо да помислим за
границата на f(х), когато х клони
към 3 от стойности по-малки от 3. Този малък отрицателен
индекс показва, че приближаваме
до 3 отдолу. От 1, 2, 2,5, 2,99, 2,999. Ако приближаваме...
това тук е 3. Тук определяме границата
отляво. Първо се приближаваме
към 3 от тази посока. Когато х = 0, f(х) е тук. Когато х = 1, f(х) е тук. Когато х = 2, f(х) е тук. Когато х = 2,5, f(х) е равно на 5. Когато х е приблизително 2 и 3/4,
получаваме 4... Изглежда, че f(х) стига до 4,5. Изглежда, че когато
х клони към 3 от стойности по-малки от 3, функцията клони към 4. Бих казал, че границата отляво, когато х клони към 3,
границата на f(х) е 4. Сега да направим същото
нещо за дясната страна. Границата на f(х), когато
х клони към 3 от стойности, по-големи от 3. Обърни внимание, че когато
х е равно на 5, f(х) е тук горе. Когато х е равно на 4, f(х) е тук. Когато х е равно на 3 и 1/2,
изглежда че f(х) е малко под 2. Изглежда, че се приближаваме
все повече и повече, когато х клони към 3
от положителната посока или отдясно, изглежда, че f(х) се приближава
все повече и повече до 1. Можем да кажем, въз
основа на тази графика, че границата на f(х),
когато х клони към 3 от положителната посока,
границата е равна на 1. Сега имаме проблем. За да съществува тази граница, трябва да са равни стойностите,
когато се приближаваме отляво и когато приближаваме отдясно,
но тук очевидно не се приближаваме
до една и съща стойност, когато идваме отляво и
когато идваме отдясно. Значи тук не съществува граница. Не съществува. Единственият начин
тук да съществува граница, е ако получим една и съща
стойност и от двете страни, тогава границата ще е равна
на тази стойност. Но ние определено
не получаваме една и съща стойност.