If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:11

Видео транскрипция

Да се запитаме каква е стойността, до която тази функция се доближава, когато х се доближава до 2 откъм по-малките числа. Избираме няколко числа, които се доближават до 2: х=1, х=1,5, х=1,9, х=1,999 и х=1,99999999. До какво се доближава f(x)? Виждаме, че функцията f(x) се доближава до тази стойност. Изглежда това е числото 5. Начинът, по който обозначаваме това, е като границата на f(x) при х, клонящо към 2 и ще уточним и посоката: тъй като х клони към 2 от отрицателната посока, слагаме минус над 2, за да обозначим посоката на приближаване. Това не е –2. Това е приближаване до 2 от отрицателната посока. Приближаваме 2 откъм страната на по-малките числа. Доближаваме се все повече до 2, но отдолу: 1,9 към 1,99 към 1,99999 и т.н. Когато х се приближава все повече през тези стойности, до какво се доближава f(x)? Тук виждаме, че се доближава до 5. Естествено, следващият ни въпрос е каква е границата на f(x), когато х клони към 2 откъм по-големите числа? Това е обозначено с този малък знак плюс. Сега ще се приближаваме към х=2, но от другата посока: х=3, х=2,5, х=2,1, х=2,01 и х=2,0001. Ще се доближаваме все повече до 2, но идваме от по-големите от него числа. За х=3, f(x) е тук. Когато х е 2,5, функцията е тук. Когато х е 2,01, тя е някъде тук. В тази ситуация f(x) се приближавa все повече до 1. Тя обаче не го достига. В тази точка всъщност има прекъсване от първи тип (скоково). Това е граничната стойност, когато се приближаваме до 2 откъм по-големите числа. Тази граница е равна на 1. Когато мислим за границите по принцип, единственият начин да съществува граница при 2 е тези двете едностранни граници да са равни помежду си. В тази ситуация те не са. Когато се приближаваме до 2 отдолу, функцията изглежда доближава 5, а когато приближаваме 2 от горната страна, функцията изглежда, че приближава 1. В този случай, нека го напиша, границата на f(x) за х, клонящо към 2 от отрицателната посока не е равна на границата на f(x) за х, клонящо към 2 от положителната посока. И тъй като в този случай двете граници не са равни, двустранната граница не съществува. В общия смисъл на думата граница, границата на f(x) за х, клонящо към 2 не съществува. За да можеше тя да съществува, тези двете трябваше да са равни помежду си. Например ако се пита каква е границата на f(x) за х, клонящо към 4? Естествено, можем да помислим за двете едностранни граници: лявата и дясната, тази отдолу и тази отгоре. Можем да намерим границата на f(x) за х, клонящо към 4 отдолу: ще го начертая. Интересува ни точката х=4. Когато х се доближава до нея отляво, например за х=3, имаме f(3)=–2. f(3,5) e ето тук. f(3,9) е тук, а f(3,999) идва все по-близо до стойността на функцията да е –5. Значи границата, когато се доближаваме до 4 отдолу, лявата граница ще е равна на –5. За да потърсим границата на f(х) за х, клонящо към 4 отдясно, откъм по-големите от 4 числа, ще използваме същия метод. f(5) e тук. f(4,5) е някъде тук. f(4,1) е някъде тук, f(4,01) пък е тук. И дори f(4) всъщност е определено, но ние просто го доближаваме все повече. Виждаме, че отново се доближаваме до –5. Дори и f(4) да не беше определено на никоя от двете страни, пак щяхме да се доближаваме до –5. Това също се доближава до –5. И тъй като лявата граница е равна на дясната граница, можем да кажем, че двете са равни помежду си. Заради това вече знаем, че границата на f(x) за х, клонящо към 4 е равна на –5. Да разгледаме още няколко примера. Да намерим границата на f(x), това е друга функция, която е представена тук, за х, клонящо към 8 от ляво, откъм по-малките от 8 числа. На колко е равно това? Сега остави видеото на пауза, за да опиташ да я намериш самостоятелно. Значи, х се приближава все повече до 8. Ако х е 7, f(7) е тук, за х=7,5 функцията е тук. Изглежда, че нашата стойност на f(x) се приближава все повече до 3. Изглежда, че лявата граница на f(x) за х, клонящо към 8 откъм отрицателната страна, е 3. Ами за положителната страна? Каква ще е границата на f(x) за х, клонящо към 8 от положителната посока, от дясната страна? Ето, виждаме, че за х=9 нашата функция е тук. за х=8,5 нашето f(8,5) е тук. Изглежда доближаваме до f(x) = 1. Забележи, че тези две граници са различни една от друга. Значи общата, двустранната граница не съществува за f(x) при х, клонящо към 8. Сега ще го запиша. Границата на f(x) за х, клонящо към 8, тъй като тези две стойности са различни, не съществува. Да направим още един пример. Тук ни е зададен въпрос. Дадена е графиката на функцията f. Колко изглежда на нея стойността на едностранната граница на f(x) за х, клонящо към –2 откъм отрицателната посока? Тук имаме –2 откъм отрицателна посока. Интересува ни какво се случва, когато х доближава –2 отляво. Виждаме, че f(x) е неопределено тук. Но нека видим какво става, когато се доближаваме от отрицателната посока, откъм по-малките от 2 числа, или като се доближаваме отляво. Като се доближаваме отляво, f(–4) e тук. Това е f(–4). f(–3) е ето тук. f(–2,5) изглежда е ето тук. Приближаваме се все повече до f(x) = 4, поне така изглежда на графиката. Бих казал, че графично границата на f(x) за х, клонящо към –2 от отрицателната посока е равна на 4. Ако ни питаха също колко е границата на f(x) за х, клонящо към –2 от положителната посока, щяхме да получим подобен отговор. Сега ще се приближим от х=0, за което f(x) изглежда е тук. Когато х е 1, f(x) е ето тук. Когато х е –1, 99... за х равно на –1, f(x) e тук. Когато х е –1,9, f(x) изглежда е тук. Отново изглежда, че се приближаваме до 4. Тъй като лявата и дясната граница са равни, защото двете едностранни граници клонят към едно и също число, можем да обобщим, че границата на f(x) за х, клонящо към –2, и то от двете посоки, има еднаква гранична стойност от двете посоки, значи тази граница съществува тук. И тя е равна на 4.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".