If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:7:41

Видео транскрипция

Нека функцията f(x) е равна на 1 върху х. Да помислим за границата на f(x), когато х клони към 0 откъм положителната посока. За да си помогна, ще направя една таблица. Ще задам стойности на х и ще помисля за съответните им стойности на f(x). Приближавам се към 0 откъм положителната посока. Нека да започна с 0,1. После ще се доближа още, до 0,01. Можем да опитаме и с 0,001. И накрая с 0,0001. Забележи, че всяко от тези числа е по-голямо от 0 и се стреми към 0 откъм положителната посока. Отиваме все по-близо до 0. И така, когато х е 0,1, f(x) е 1 върху него: то всъщност е 1/10, затова 1 върху него е 10. А тук 1 върху 0,01 е равно на 100; 1 върху 0,001 ще е 1000, а 1 върху 0,0001 е равно на 10 000. Виждаш как, когато х се приближава към 0 откъм положителната посока, f(x) просто расте много бързо. Тук казваме, че границата на f(x), когато х клони към 0 откъм положителната посока, е равна на плюс безкрайност. Можем да запишем и само безкрайност. Ако опитаме със съвсем близко до 0 число, например със седем цифри след запетаята, се получава 1 със седем нули след него, нали така? Тук имах 4 цифри след запетаята и получих 4 нули; Тук имам седем цифри и нулите са 7. И така, виждаш, че когато се доближаваме до 0 все повече откъм положителните числа, f(x) става все по-голямо. То е напълно неограничено. Затова казваме, че това е равно на безкрайност. Сега да помислим за една друга граница. Да помислим за границата на f(x) при х, клонящо към 0 откъм отрицателната посока. Записвам я тук, минусът показва отрицателната посока. В този случай, можем да вземем всяка от тези стойности със знак минус. Ако х е –0,1, то това ще е равно на –10. Ако х е с минус, то и стойността на функцията е с минус. Ако това е с минус, и това е с минус. Също и тук, и тук. Тук виждаме, че тези числа стават с все по-голяма и по-голяма абсолютна стойност, но в отрицателна посока. Ако продължим по числовата ос, ще се придвижим все повече и повече наляво. Затова можем да кажем, че границата на f(x), когато х клони към 0 от отрицателната посока, е равна на минус безкрайност. Това е интересно. Сега да помислим за границата при х, клонящо към плюс или минус безкрайност. Ще започнем с границата на f(x), когато х се стреми към плюс безкрайност. Един начин е да съставя такава таблица, т.е., да направя нещо подобно. Имам колони за х и за f(x): ако х е 10, то f(x) е 1/10; Сега увеличавам х, слагам все по-големи числа: ако х е 1000, то f(x) е 1/1000. ако х е 1 000 000, то f(x) е 1/1 000 000. Виждаш, че когато х става все по-голямо и по-голямо в положителна посока, f(x) става все по-близко до 0. Можем да кажем, че границата на f(x) при х, клонящо към безкрайност е равна на 0. Сега да помислим за границата на f(x), когато х се стреми към минус безкрайност. Ще използваме числа с все по-големи абсолютни стойности и с отрицателен знак. Ако х е -10, функцията ще е -1/10. за х=-1000, тя ще е минус 1/1000. За -1 000 000 вече е -1/1 000 000. Минус 1 върху милион. Отново виждаме, че числата стават все по-малки, отново се приближаваме до 0. Какви приложения има това? Сега само видяхме, че можем да намерим тези граници. Но дори не ти дадох формалното определение за тях, но се надявам да разбра интуитивно какво са границите при плюс или минус безкрайност; всъщност тук трябва да е минус безкрайност; или когато самата граница е плюс или минус безкрайност. Вече видяхме, че можем да работим с тях. Но нека ги представим визуално на графиката на f(x) = 1/х. Освобождавам място за нея, но ще оставя таблицата. Да начертаем графиката ето тук. Това е оста х, а това е оста у. Искаме графиката на f(x). Виждаме, че х са много малки числа: за х = 0,1 f(x) е равно на много голямо число. И колкото повече х се доближава до 0, толкова повече f(x) доближава безкрайност. Значи става все по-голямо, когато доближаваме 0 отдясно. С доближаването на х до нулата, стойностите на у се качват все повече. А пък когато стойностите на х стават все по-големи, f(x) става все по-малко. То изглежда така, тук се стреми към 0. Аналогично е и от страната на отрицателните числа. Ето тук видяхме, че f(x) се стреми към минус безкрайност. Затова, когато х се доближава все повече до 0, f(x) слиза все повече. А пък когато х се движи към минус безкрайност, когато самото х става все по-малко, виждаме как функцията се стреми към 0. От начертаната графика се вижда, че има две асимптоти за f(x) = 1/х. Едната е хоризонтална асимптота за у = 0: когато х се стреми към безкрайност, f(x) се доближава все повече до 0, без да достига до нея. Когато х се стреми към минус безкрайност, f(x) отива все по-близо до 0 отдолу, без да го докосва съвсем. Имаме също и вертикална асимпота при х=0. Виждаме, че когато х се стреми към 0 от положителната посока, у се стреми към безкрайност. А когато х клони към 0 от отрицателната посока, у се стреми към минус безкрайност. Значи тази граница при х=0, ако потърсим двустранната граница при х, клонящо към 0, ще видим, че двете едностранни граници са различни. Определено имаме вертикална асимптота при х=0. Но границата на f(x) при х, клонящо към 0 не е определена. Защо става така? Защото дясната граница при х, клонящо към 0 е различно нещо от лявата граница.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".