Основно съдържание
11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ
Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ > Раздел 5
Урок 1: Понятие за граница на функция- Граници на функции: въведение
- Въведение в граници на функции (старо)
- Граници на функции: въведение
- Определяне на граници на функции от графики: асимптота
- Определяне на граници на функции от графики: неопределена функция
- Определяне на граници на функции от графики: границата не е равна на стойността на функцията
- Пресмятане на граници на функции от графики
- Определяне на граници на функции от таблични данни
- Пресмятане на граници от таблици
- Граници на функции: предизвикателство
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Граници на функции: въведение
Границите описват поведението на дадена функция близо до някаква точка, а не в самата точка. Това несложно, но важно понятие, лежи в основата на целия математически анализ.
Да разгледаме един пример, за да разберем какво представляват границите на функции. Започваме с функцията .
Границата на за е тази стойност, до която се доближава, когато аргументът става все по-близък до . На графиката това е стойността на , до която се доближаваме, когато проследим графиката на и се доближим все повече до точката, в която .
Например, ако започнем от точката и се придвижим по графиката, докато доближим съвсем до , то нашата стойност на (т.е. стойността на функцията) ще се доближи съвсем до числото .
Аналогично като започнем от точката и се придвижим наляво, докато доближим съвсем близо до , то стойността на отново ще се доближава съвсем близо до .
Поради това казваме, че границата на функцията в е .
Може да попиташ каква е разликата между границата на за и самата стойност на за , т.е. .
В нашия случай границата на при е равна на , но невинаги става така. За да го разбереш по-лесно, разгледай функцията . Тази функция се различава от единствено по това, че е неопределена в точката .
Също като при , границата на при е . Това е така, защото тук също можем да се приближим много близо до и стойностите на функцията ще се приближат много близо до .
Значи границата на при е равна на , но стойността на при е неопределена! Те не са едно и също!
В това е красотата на границите: те не зависят от стойностите на самата функция при границата. Те описват поведението на функцията, когато тя се доближава до граничната стойност.
Използваме специални обозначения за границите. Ето така записваме границата на за , клонящо към :
Знакът означава, че търсим границата на нещо.
Изразът вдясно от е изразът, чиято граница търсим. В нашия случай това е функцията .
Изразът под означава, че търсим границата на , когато стойностите на клонят към .
Чрез границите се приближаваме безкрайно близко.
Какво имаме предвид под „безкрайно близко“? Да видим стойностите на , когато стойностите на се приближават много близо до . (Не забравяй: тъй като се занимаваме с граници, не ни интересува самата стойност на тук).
Виждаме, че когато стойностите на аргумента , които са по-малки от , се доближават до 3, стойностите на функцията стават все по-близки до .
Виждаме също, че когато стойностите на , които са по-големи от , се доближават до него, става все по-близка до .
Забележи, че се приближихме най-близо до при и , които са на единици от .
Ако искаме, можем да се приближим и още повече. Например, ако искаме да сме на единици от , ще изберем и тогава ще имаме .
Това може да продължава безкрайно. Винаги можем да се приближим още по-близо до . Но всъщност точно това означава „безкрайно близко“! Тъй като в реалността не е възможно да отидем „безкрайно близко“, то чрез обозначаваме, че колкото и близо да сме до , винаги има по-близка стойност на до , която да ни отведе още по-близо.
Ако ти е трудно да разбереш това, може би следното сравнение ще помогне: откъде знаем, че броят на целите числа е безкраен? Не сме ги преброили всичките, за да стигнем до безкрайност. Ние знаем, че те са безкраен брой, защото за всяко цяло число винаги съществува по-голямо от него цяло число. След това винаги има още едно, и още едно...
При границите е подобно, но вместо за безкрайно големи числа, мислим за безкрайно близки числа до нещо. Чрез обозначаваме, че винаги можем да се приближим още по-близко до .
Още един пример:
Нека да анализираме , което е границата на израза , когато клони към .
Виждаме, че колкото по-близо сме до точката на графиката, толкова стойностите на са по-близо до .
Можем да разгледаме и таблица със стойности:
Виждаме също как можем да се доближим максимално близко до . Да предположим, че искаме да сме на по-малко от единици от . Коя стойност на , близка до , можем да изберем?
Да опитаме с :
Това е на повече от единици от . Да опитаме с по-близка стойност, например с :
Това вече е достатъчно близо! Като опитваме със стойности на , които са все по-близки до , можем да се приближим още повече до .
В заключение .
Границата трябва да е еднаква от двете страни.
Като се върнем към и , виждаме как все повече се доближаваме до , независимо дали стойностите на се увеличават към (това означава да „клони отляво“) или намаляват към (това означава да „клони отдясно“).
Сега вземи за пример функцията . Стойността на , към която се доближаваме, когато стойностите на приближават , зависи от това дали се приближаваме отляво или отдясно.
Когато приближаваме отляво, функцията доближава . Когато приближаваме отдясно, функцията доближава .
Когато една граница доближава различни стойности от двете страни, казваме, че тази граница не съществува.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.