Видове точки на прекъсване на функция

В това видео ще говорим за различните видове прекъсвания, които вероятно си спомняш от часовете по алгебра. Тук ще ги свържем с нашето разбиране за граници: леви, десни и двустранни. Най-напред да си припомним видовете прекъсвания. Тук отляво виждаме крива, кяото иглежда е равна на у=х², освен за х=3, където вместо 3² в тази точка имаме прескачане и вместо като f(3), функцията е зададена като 4. След това отново изглежда, че следва кривата у=х². Този случай е известен като отстранима точка на прекъсване. Наванието ѝ говори само за себе си. В тази точка имаме прекъсване. Може да си представиш как променяш дефиницията в тази точка, за да стане непрекъсната функция и така да отстраниш това прекъсване. Да видим как това се връзва с нашето определение за непрекъснатост? Нека си припомним определението: каваме, че функцията f е непрекъсната, или още по-точно, функцията f е непрекъсната в точката x = c тогава и само тогава, когато границата при х, клонящо към с на f(x) е равна на самата стойност на функцията за х = с. Защо не е изпълнено за тази графика? Тук двустранната граница съществува, в този случай с е равно на 3 и границата за х, клонящо към 3 на f(x) може да се намери на графиката, а и в случая знам, че тя е на у=х² освен в тази точка на прекъсване и границата е равна на 9. Проблемът тук е, че това не е равно на стойността на функцията. За х = 3 тази функция, f(3) на тази графика всъщност е равно на 4. В тази ситуация двустранната граница съществува, но не е равна на стойността на функцията. Имаме и други случаи, в които функцията дори не е определена във въпросната точка, тя дори няма стойност там. И отново, тогава границата може и да съществува, но самата функция да не е дефинирана там. И в двата описани случая няма да е изпълнено условието за непрекъснатост. Това представлява отстранимата точка на прекъсване, това я прави прекъсната според нашето определение за непрекъснатост. Сега да видим втория пример. Имаме интуитивен тест за непрекъснатост: да се опитаме да повторим линията. Виждаме, че когато достигнем до х = 2, ще трябва да вдигнем молива и да продължим от друго място. Това ни показва ясно, че имаме прекъсване. Виждаме това и тук. Повтарям линията на тази функция и пак трябва да вдигна молива, иначе не мога да мина през тази точка. Трябва да скоча надолу дотук и да продължа пак горе. И в двата случая трябва да вдигна молива. Интуицията ми казва, че има прекъсване. Но този конкретен вид прекъсване, при който правя скок от една точка към друга точка, за да продължа, се нарича прекъсване от първи род. То е различно от отстранимото. Как се връзва това с границите? Тук лявата и дясната граница съществуват поотделно, но не са равни помежду си. Следователно няма двустранна граница. В нашия пример за всички стойности на х до и включително х = 2 това е графиката на у = х². А след х=2 става графиката на корен квадратен от х. В този сценарий имаме такива граници на f(x), когато х клони към 2: лявата граница е равна на 4, това е стойността, към която функцията се стреми и тя е равна на самата функция. Но ако погледнем дясната граница, колко ще е тя? Когато се приближаваме отдясно имаме корен от х, затова дясната граница е корен от 2. Няма как да го определиш, ако само гледаш графиката. Знам колко е, защото използвах сайта Desmos, за да дефинирам тази функция. Но дори и на пръв поглед се вижда, че се доближаваме до две различни числа, когато се приближаваме отляво или отдясно. И макар че съществуват лявата и дясната граница, те не са равни и двустранната граница не съществува. Щом няма двустранна граница, то тя със сигурност не може да бъде равна на функцията, дори и функцията да е определена. Затова прекъсването от първи род не отговаря на определението. Тук също е интуитивно. Виждам, че тук трябва да скоча, да вдигна молива. Тези две линии не са свързани. И накрая виждаме един случай, който понякога се нарича прекъсване от втори род, или прекъсване при асимптота. Тук имаме асимптота: вертикалната асимптота за х = 2. Ако опитам да повторя графиката, като започна отляво, ще продължа вечно. Няма да мога да спра да чертая този клон, защото той е неограничен, отива в безкрайност, когато се доближавам до х = 2 отляво. А когато се стремя към х = 2 отдясно, отново съм неограничен, но този път отгоре. Дори и да можех да стигна дотам, което всъщност е безкрайност и е невъзможно за един краен живот да се повтори цялата линия, но се разбира, че дори тогава няма да има начин да се стигне от единия клон до другия без вдигане на молива. За да го свържем с нашето разбиране за граници, тук имаме, че и лявата, и дясната граница са неистински, тоест по твърдото определение дори не съществуват. Тъй като не съществуват, то условието не е изпълнено. Ако разгледаме лявата граница на f(x) при х, клонящо към 2 виждаме, че тя е неограничена в отрицателна посока. Понякога това се нарича минус безкрайност. Но това не е съвсем прието навсякъде. По-коректният начин е да се нарече функцията неограничена. Аналогично и за дясната граница на f(x) при х, клонящо към 2: тя е неограничена към плюс безкрайност. Отново имаме, че този клон е неограничен. От тук следва, че двустранната граница не съществува и графиката не отговаря на условието за непрекъснатост. Затова тя е прекъсната. Да обобщим: първото е отстранима точка на прекъсване, второто е прекъсване от първи род, или скок, и накрая имаме прекъсване от втори род, с асимптота.