Непрекъснатост на функция в даден интервал

В това видео ще разучим непрекъснатостта в даден интервал. Но за да го направим, нека първо си припомним какво е непрекъснатост в точка. Казваме, че функцията f(x) е непрекъсната за дадено х = с тогава и само тогава, когато, нека само начертая тези стрелки, когато границата на f(x) за х, клонящо към с, е равна на f(с). Когато въведохме това определение за първи път, го нарекохме технично, но то всъщност е доста интуитивно. Помисли какво се случва. Границата на f(x) за х, клонящо към с, например тази граница, е равна на някакво число. Когато се приближаваме от лявата страна, стигаме до това число. Отдясно отново доближаваме същото число. За да бъде непрекъсната функцията в тази точка, това означава да я начертая без да всигам молива, то стойността на функцията в тази точка трябва да е същата като границата ѝ. Това е просто по-формален начин на записване на идеята да не вдигаш молива, на тази идея за свързаност, че няма никакви скокове или прекъсвания в тази точка. Като разяснихме това, нека да обсъдим непрекъснатост в интервал. Ще изтрия това, за да освободя място. Първо ще говорим за отворен интервал, а после и за затворен. Затвореният се използва малко по-често. Казваме, че функцията f(x) е непрекъсната в отворения интервал (а;b). Тук кръглите скоби, за разлика от квадратните, показват, че не включваме крайните точки. В този интервал са всички точки между х=а и х=b, но без самите a и b. Функцията f(x) е непрекъсната в този отворен интервал тогава и само тогава, когато f(x) е непрекъсната за всяка точка от интервала. Да направим няколко примера. Да кажем, че имаме отворения интервал от минус 7 до минус 5. Непрекъсната ли е функцията f(x) в този интервал? Да видим на графиката. От –7 до –5 е тук. Има няколко начина на действие. Има и недотам математически издържан начин, това е да си представиш, че започваш оттук и видиш дали можеш да преминеш целия път до –5 без да вдигаш молива от графиката. Ако искаш да го направиш по-формално и имаш уравнението на функцията, можеш да изведеш доказателство, че за всички точки от този интервал границата на f(x) за х, клонящо към всяка отделна точка е равна на стойността на функцията в тази точка. По-трудно е да се докаже, когато е дадена само графиката. Когато имаш само графика, можеш само да я разглеждаш и да заключиш дали можеш да стигнеш от едната ѝ точка до другата без да вдигаш молива. Тук ми изглежда, че е непрекъсната. Сега да опитаме с друг интервал. Ще отбележа за първия, че там има непрекъснатост. Сега да помислим за отворения интервал от –2 до +1. Тук става интересно, защото функцията при –2 е ето тук горе. Ако искахме да започнем от самото –2, би трябвало да започнем от горе и веднага да скочим долу за следващата точка, която е малко по-голяма от –2, и после да продължим. Но тъй като интервалът е отворен, то не се интересуваме какво се случва точно в точката –2, интересуваме се какво става за числата, по-големи от –2. Затова всъщност започваме ето оттук долу и продължаваме до 1. Отново следвайки интуитивния начин да не вдигам молива си, виждам, че тази функция е непрекъсната за този отворен интервал. Да видим и пример за интервал, в който функцията е прекъсната. Виж например отворения интервал, този е доста очевиден, отворения интервал от 3 до 5. Функцията е тук за х=3. Но за да стигнем до 5, изглежда минаваме през асимптота. Тук имаме асимптота към безкрайност и функцията ще расте безкрайно дълго. В някакъв момент ще ни се наложи да вдигнем молива и да скочим от другата ѝ страна до тук. Следователно функцията не е непрекъсната в този интервал. Сега да помислим за един малко по-сложен интервал. Малко по-сложният случай е когато имаме затворен интервал. f(x) е непрекъсната в затворения интервал [a;b], това включва не само точките между а и b, ами и самите крайни точки, тогава и само тогава, когато f(x) е непрекъсната в отворения интервал и едностранните граници, нека запиша това, и дясната граница за х, клонящо към а отдясно на f(x) е равна на f(а), а лявата граница за х, клонящо към b отляво на f(x), е равна на f(b). Какво се случва тук? Това просто казва, че тази едностранна граница, когато мислим вътре в интервала трябва да приближава същата стойност като функцията. Например, ако имаме затворения интервал от –7 до –5, е, тук също е в сила методът с невдигането на молива. Не трябва да вдигаш молива. уверяваш се, че и в крайните точки –5 и –7 функцията също е непрекъсната. Но ако тя не е определена в някоя от тях, тя все пак може да е непрекъсната, защото ще търсим само едностранната граница. И после ще видим дали тази граница е равна на стойността на функцията. После за другата крайна точка ще видим дали лявата граница е равна на функцията, дори и тя да е неопределена там. Дори и да не съществува двустранна граница. Можем да видим такъв пример. Ако погледнем затворения интервал, може и да е затворен от едната страна и отворен от другата, но сега ще направим само затворения интервал от –3 до –2. Забележи, че не се наложи да вдигам молива. Включвам и крайната точка –3 и стигам до другата точка, –2. Ако ни беше дадено уравнението на тази функция, можеше да докажем, че границата за всяка от тези точки отвътре, между –3 и –2, е равна на стойността на функцията. В точката –3 функцията очевидно е непрекъсната. Двустранната граница там е равна на стойността на функцията. Но при –2 двустранна граница не съществува. Все пак лявата граница там изглежда е равна на 0. Имаме и f(x) = 0. Дясната граница изглежда, че е –3. И въпреки, че двустранната граница не съществува, все пак можем да сме спокойни, защото лявата граница съществува и тя е равна на стойността на функцията. В този интервал имаме непрекъснатост. Но нека разгледаме следващия интервал. Имаме затворения интервал от –2 до 1. Остави видеото на пауза и помисли въз основа на това, което вече говорехме, дали функцията е непрекъсната в интервала [–2;1]? Е, движим се от –2 до 1. Началната точка е –2. Ето тук. Това тук вярно ли е? Дали дясната граница за х, клонящо към –2, е равна на f(–2)? Тази дясна граница изглежда е равна на –3. А f(–2) е равно на 0. Следователно тази граница няма същата стойност като функцията в тази точка. От това следва, че нямаме едностранна непрекъснатост в –2. Това има смисъл. Ако започна от –2, ще го направя с по-видим цвят, като започна от –2 и искам да премина през интервала до 1, ще се наложи да вдигна молива. Вдигам молива, стигам тук и после продължавам. Следователно нямаме непрекъснатост в този интервал.