Функции, непрекъснати за всички реални числа

Търси се коя от следните функции е непрекъсната за всички реални числа? Нека първо си припомним какво е непрекъснатост. Как изглежда една непрекъсната функция? Да видим една такава. Това е моята ос у, а това е оста х. Функцията ще е непрекъсната в даден интервал, ако графиката ѝ няма скокове или прекъсвания в този интервал. Значи, ако графиката е свързана и естествено функцията е определена в този интервал, без никакви прекъсвания, например една непрекъсната функция може да изглежда така. Тази функция, ще я начертая малко по-дебело, тази функция е непрекъсната. Тя е свързана в този интервал, който виждаме тук. Сега да видим примери за прекъснати функции в даден интервал. Те имат някакъв вид прекъсвания. Могат да имат прекъсване с асиптота като това, това прави функцията прекъсната. Може и да имат прекъсване от първи тип, нещо такова. Или да имат просто прекъсване, където не са дефинирани. Може това да е точка, където функцията не е определена или тя всъщност да има някаква стойност там, но да създава отстранимо прекъсване. Всичко това са примери за прекъснати функции. Ако искаш по-математическото обяснение, разглеждали сме го и преди, казваме, че функцията f е непрекъсната за дадена стойност х = а тогава и само тогава, отбелязвам това с двупосочни стрелки, ако границата на f(x) при х, клонящо към а е равно на стойността на функцията за а. Тук отново, за да бъде функцията непрекъсната, трябва най-малкото да е определена в тази точка. Като гледам това твърдение, осъзнавам, че за да бъде функцията непрекъсната за всички реални числа, тя трябва да е определена за всички реални числа. Нашата g(x) не е определена за всички реални числа. Тя не е определена за отрицателните стойности на х и затова можем да отхвърлим тази функция. Сега да помислим за функцията f(x) = е^х. Тя е определена за всички реални числа. Както ще видим, повечето от често срещаните в математиката функции нямат тези странни скокове и дупки. Нямат непрекъснатости. Някои от тях имат, например функцията 1 / х или други подобни, но функциите от типа на е на степен х нямат такива. Можем да начертаем графиката ѝ. е на степен х изглежда така, нека я начертая, та е определена за всички реални числа, няма никакви скокове или прекъсвания, следователно нашата f(x) е непрекъсната за всички реални числа. Отговорът е: само f. Моето доказателство не беше много стабилно. Ако искаш, можеш да опиташ, но за смисъла на това упражнение е достатъчно да разбереш интуитивно идеята, че функцията е определена за реалните числа и от това и от наблюдението, че няма скокове или дупки, можем да кажем, че тя е непрекъсната. Ако желаеш, можеш да изведеш и по-стабилно доказателство.