Функции, непрекъснати за определени стойности на х

Кои от следните функции са непрекъснати за х=3? Както видяхме в примера от предишното видео, за да бъде непрекъсната в точка, функцията трябва поне да е определена в тази точка. Видяхме определението за непрекъснатост, f е непрекъсната в точката а тогава и само тогава, когато границата на f(x) при х, клонящо към а, е равна на f(a). В този случай можем да кажем, че функцията е непрекъсната за х=3 тогава и само тогава, когато границата на f(x) за х, клонящо към 3 е равна на f(3). Сега да видим нашата първа функция. Натурален логаритъм от х – 3. Сега функцията не е f, а е g. Опитай да изчислиш g(3). Ще го разпиша тук. g(3) e равно на натурален логаритъм от 0. Защото имам 3 минус 3. Това е неопределеност. Няма такава степен, на която да повдигнеш е, за да получиш 0. Може да опиташ и да стигнеш до минус безкрайност. Но това не е определено число. И тъй като тази функция дори не е определена за х = 3, няма начин тя да бъде непрекъсната за х = 3. Можем да изключим този отговор. Сега имаме f(x) = е^(х – 3). Това е просто изместен вариант на функцията е на степен х. Дефинирана е за всички реални числа. И както видяхме в предишния пример, може да се каже, че е непрекъсната за всички реални числа. Можеш да направиш тази малка проверка. Границата на е на степен х за х, клонящо към 3 ще е равна на е на степен 3 – 3, това е е^0, което е равно на 1. Получихме, че единствената непрекъсната функция е f. Отново е добре да помислим какво се случва на графиката. И двете функции могат да се разглеждат като изместени версии на функциите от предишния пример: на ln(х) и е^х. Ако искаме, можем да начертаем координатните оси: това са оста у и оста х. Сега ще поставя някои точки. Имаме едно, две, три, деления; вече казах, че нашите функции са изместени версии и може да има по-добър начин да ги начертая, затова ще отброя три единици тук. Ще отбележа до 6. На другата ос няма да са в същия мащаб, за да се събере: дотук са 3. Ще начертая асимптотата чрез прекъсната линия тук. g(x) или ln от х – 3 ще изглежда горе-долу така. Стойността ѝ за х = 3 е неопределена, Сега ще използвам х = 4, ln oт x – 3 става ln от 4 – 3. Нека го отбележа в таблица отстрани. Дано не се объркваш. Имам колко на за х и колона за g(x). При х = 3 е неопределеност. При х = 4 стойността е ln от 1, което е равно на 0, това е тази точка. Функцията g(x) ще има такава графика. Виждаш, че при х = 3 има такова прекъсване. Функцията дори не е определена наляво от 3. Сега за f(x) нещата са по-прости. За х = 3 имаме f(3), което е е на степен 3 – 3 или е на степен 0, което е 1. Графиката ѝ ще изглежда горе-долу така. Няма скокове или дупки, функцията е непрекъсната за всички реални числа, също и за х = 3.