Непрекъснатост на функция в точка

В настоящия урок ще дадем по-точна дефиниция за непрекъснатост. Основната идея на непрекъснатостта – имаме само интуитивна идея от преди – е, че една функция е непрекъсната в точка, ако можеш да начертаеш графиката на функцията в тази точка, без да повдигаш молива си от листа. Какво имам предвид с това? Това е следното. Изказаното току-що определение не е толкова точно, или въобще не е точно, но нека да разгледаме тази точка тук. Нека да кажем, че това е точка C. Ако мога да начертая графиката в тази точка, или стойността на функцията в тази точка, без да повдигам молива или химикала си от листа, то функцията е непрекъсната в тази точка. Мога да започна от тук и не е необходимо да повдигам молива си, и сме готови. Мога да мина през тази точка, така че може да кажем, че функцията е непрекъсната в нея. Но може да имаме и функция, която изглежда по-различно от сегашната. Може да имаме функция, която изглежда ето така. Нека да кажем, че е дефинирана до тази точка и след това има малък скок. А след това продължава по следния начин. Ще бъде трудно да се начертае по този начин... Тази функция ще бъде трудно да се начертае по този начин, преминавайки през х = С без да повдигам молива си. Нека проверим. Писецът ми докосва екрана, придвижва се по него ето така. Как мога да продължа да чертая функцията, без да повдигам писеца от екрана? Трябва да го повдигна и да се преместя ето тук долу. Това е интуитивното усещане, че функцията е прекъсната в тази точка ето тук. Всъщност нека да дадем формално определение за непрекъснатост и да видим дали ни се струва интуитивно. За формалното определение за непрекъснатост нека започнем от тук. Ще започнем от непрекъснатост в точка. Може да кажем, че една функция f е непрекъсната... Непрекъсната в точка х равно на С, тогава и само тогава... ще начертая тази двойна стрелка, за да означа "тогава и само тогава"... границата и от двете страни на f от x, когато х клони към С, е равна на f от С. Това звучи много техническо. Нека да помислим обаче какво ни казва. Гласи следното. Ако границата когато х клони към С, от лявата страна и дясната страна на f от х, действително е равна на стойността на функцията в точка С, то функцията е непрекъсната в тази точка. Нека да разгледаме три примера. Нека да разгледаме първия пример... Когато използваме идеята за "повдигане на молива" изглежда, че функцията е непрекъсната в дадена точка. Нека след това да разгледаме няколко примера, където не изглежда, че функцията е непрекъсната в дадена точка, и да видим как може да приложим това по-точно определение. Нека да кажем, че имам дадена функция. Нека да кажем, че това тук е у равно на f от х. Интересува ни поведението на функцията ето тук, където х е равно на С. Това е оста х, а това е оста у. Интересува ни поведението на функцията, когато х е равно на С. Забележи, че от нашето първоначално усещане, определено мога да начертая функцията, като не повдигам молива си, когато преминавам през х равно на С. Следователно изглежда непрекъсната в тази точка. Няма скокове или прекъсвания, които може да видим. Сякаш просто продължава по пътя си. Всички точки изглеждат свързани. Това е един от начините за разсъждение. Нека да помислим върху това определение. Границата, когато х клони към С отляво, е... Когато се приближаваме отляво изглежда, че се приближаваме, сякаш се приближаваме към f от С. Това ето тук е стойността на f от С. Когато се приближаваме отдясно... Приближаваме се отдясно изглежда, че отново функцията клони към f от С. Функцията е дефинирана точно в точката х равно на С. И това е стойността, към която клони функцията и отдясно, и отляво. В този случай това изглежда добре. Нека сега разгледаме други случаи, където ще се наложи да повдигнем молива си, когато чертаем функцията и преминаваме през тази точка. През точката, когато х е равно на С. Нека да разгледаме такъв случай. Нека да разгледаме случай, където имаме нещо, което често се нарича точка на прекъсване. Въпреки че не е необходимо да знаеш точната терминология в този случай. Да кажем, че имаме следната функция. Нека да видим. Това е точката С. Нека функцията да изглежда ето така. Да има следния вид. Движи се ето така и нека в точката С да е равна на това. f от С се намира ето тук. f от С ще бъде ето тази стойност. На какво обаче е равна границата, когато х клони към С? Границата, когато х клони към С, ще бъде двустранна граница на f от х. Когато се приближаваме към С отляво, изглежда, че се приближаваме към тази стойност тук. А когато се приближаваме отдясно, изглежда, че се приближаваме към същата стойност. Може да наречем тази стойност L. И L е различно от f от С. В този случай, според формалното определение, функцията не е непрекъсната, тоест не е непрекъсната в точката х равно на... Или в точка х... Тоест в точката х равно на С. И може да видиш това тук. Ако се опитаме да го начертаем, ето, че моливът ми докосва листа, продължава да се движи по него. Ох, ако искам да продължа да чертая функцията, трябва да повдигна молива си, да го преместя ето тук, да го повдигна отново и след това да се върна ето тук. Чрез формалното определение достигаме до същото заключение. Границата, когато х клони към С, отляво и отдясно, е различна стойност от f от С. Следователно функцията не е непрекъсната. Не е... Не е непрекъсната. Нека да разгледаме и друг случай. Да разгледаме следния случай. Може би това да е случай, където границата, тоест двустранната граница дори не съществува. Това са осите х и у. Нека да кажем, че функцията прави нещо такова. Да кажем, че прави ето така. Прави ето това и след това продължава ето така. Нека да кажем, че това тук е стойността С. Нека да видим. Това тук е f от С. Това е... Нека го начертая малко по-хубаво. Това е f от С. Изглежда, че границата, когато х клони към С отляво, тоест със стойности по-малки от С, изглежда, че функцията клони към f от С. Когато обаче погледнем границата, когато х клони към С отдясно, изглежда, че функцията клони към някаква друга стойност. Изглежда, че функцията клони към тази стойност тук. Нека да я наречем L. Функцията клони към L, а L не е равна на f от С. В този случай двустранната граница не съществува. Функцията клони към две различни стойности, когато х клони към С отляво и отдясно. Поради това границата на функцията в точка С не съществува. Тази функция определено не е непрекъсната. Това отново съвпада с нашите очаквания, или с нашия тест "Трябва ли да повдигам молива си?". Ако трябва да начертая тази функция, мога да поставя молива си върху листа. Продължавам по листа, продължавам и продължавам по листа. Как ще продължа да чертая функцията, т.е. графиката ѝ, без да повдигам молива си? Повдигам го, спускам го отново ето тук и продължавам да чертая. Отново, тази функция тук не е непрекъсната. Интуитивно, чрез дефиницията за "повдигане на молива", а също така и чрез формалното определение, където в този случай границата, или двустранната граница в точката х равно на С, не съществува. Следователно функцията определено не е непрекъсната. Но дори и когато двустранната граница съществува, но има различна стойност от двете страни, от стойността на функцията, то функцията отново не е непрекъсната. Единственият случай, когато ще бъде непрекъсната, е ако двустранната граница клони към една и съща стойност и тя е равна на стойността на функцията. Ако това е вярно, то функцията е непрекъсната. Ако функцията е непрекъсната, то това е вярно.