If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ

Решен пример: Непрекъснатост на функция в точка (графика)

Сал дава два примера, в които анализира условията за непрекъснатост в точка по дадена графика на функция.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Имаме графиката на функцията у=g(x) дадена тук и искам да проверя кои от тези твърдения са верни и да ги отбележа. Както винаги, приканвам те да оставиш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно. Сега да видим първото твърдение. Според него и двете граници на g(x), когато х клони към 6 отляво и отдясно съществуват. Нека първо помислим за границата на g(x), когато х клони към 6 отдясно, откъм числата, по-големи от 6. Като погледнем тук виждаме, че за х=9 функцията g(9) има такава стойност, g(8) е тук, а g(7) е ето тук, някъде между –3 и –4. g(6,5) е малко по-нагоре, пак е между –3 и –4, но малко по-близо до –3. Още по-близо до –3 е g(6,1). Ето тук се приближаваме доста до границата. Изглежда, че границата от дясната страна съществува. Ето тази граница съществува. Тук можем да правим само графични заключения, но точно това се иска в такъв тип упражнения. Сега да помислим за границата, когато х клони към 6 от лявата посока. Мога да избера всяка точка, но нека започна с х=3. g(3) е малко повече от 1. g(4) изглежда е с малко по-малко от 2. g(5) изглежда по-близо до 3. g(5,5) е между 5 и 6. g(5,75) изглежда близо до 9. Когато се приближаваме все повече до 6, когато х доближава 6 все повече отдолу, откъм числата отляво на 6, изглежда функцията е неограничена, сякаш се стреми към безкрайност. На практика, казваме, че границата не съществува. Ето тази лява граница не съществува. Затова не отбелязвам за верен отговор този. Някои казват, че лявата граница се стреми към безкрайност, но на практика безкрайността не е определено число, към което една граница да се стреми според класическото, формално определение за граница. За нашите цели ще кажем, че тя не съществува. Сега да видим границата при х, клонящо към 6. Съществува ли тази двупосочна граница? Една граница съществува тогава, когато и лявата, и дясната граници съществуват и се доближават до едно и също число. Лявата граница за х, клонящо към 6 отляво или, иначе казано, от отрицателната посока дори не съществува. Значи това не може да е вярно. Този отговор също не е верен. Първото условие за него не е вярно. Да видим дали g е определена за х=6? За х=6 не изглежда g да е дефинирана. Като гледам графиката не мога да определя на колко е равно g(6). Това незапълнено кръгче означава, че g(6) не е равно на –3, а отляво графиката расте безкрайно. Всъщност имаме вертикална асимптота ето тук при х=6. за х=6 функцията g не е определена. Затова и този отговор отпада. Следващият: дали g e непрекъсната за х=6? Виждаме, че тук функцията расте безкрайно, после скача до тук долу и продължава. Дори на пръв поглед изглежда очевидно прекъсната. Ако искаш да изведеш по-формално доказателство, използвай определението, че за да има непрекъснатост, то в тази точка трябва да съществува двупосочна граница, функцията трябва да бъде определена за тази точка и стойността на функцията трябва да бъде равна на стойността на границата. Тук никое от първите две условия не е изпълнено. Тези две стойности не могат и да са равни, защото никоя от тях не съществува. Следователно функцията е прекъсната за х=6. Единственият верен отговор тук е „никое от горните твърдения“. Да направим още един пример. Първото твърдение гласи, че и двете граници: лява и дясна, съществуват за х, клонящо към 3. Да помислим за това. х=3 се намира тук, където графиката е прекъсната, това е нейната точка на прекъсване от първи род. Нека започнем да се приближаваме откъм числата, по-големи от 3. Когато х е равно на 5, g(5) e малко повече в отрицателна посока от –3. g(4) е между –2 и –3. g(3,5) e малко по-близо до –2. g(3,1) е още по-близо до –2. А g(3,01) е съвсем близо до –2. Изглежда, че тази дясна граница, очертах другата, ще се поправя, изглежда, че тази граница съществува. Дори изглежда, че нейната стойност е около -2. Ето това е равно на –2. Току-що намерихме дясната граница на g за х, клонящо към 3. Сега да помислим за лявата. Мога да започна оттук. g(1) изглежда малко повече от минус 1. g(2) пък е почти +1. g(2,5) е между 1 и 2. g(2,9) е малко по-малко от 2. g(2,99) пък е още по-близо до 2. g(2,99999) ще е съвсем близо до 2. Изглежда, че тази лява граница се доближава до 2. И двете граници тук, лявата и дясната, съществуват. Границата на g(x) за х, клонящо към 3, съществува ли? Тези бяха едностранни граници. А тази е същинската, двустранната граница. За да съществува тя, трябва и лявата и дясната граници да съществуват и да са равни на едно и също число. Още в първото твърдение видяхме, че двете едностранни граници съществуват, но са различни. Ето тази граница, дясната граница, се доближава до –2. А лявата доближава +2. Следователно границата не съществува. Второто твърдение не е вярно. Сега третото: g е определена за х=3. За х=3 виждаме запълнено кръгче ето тук. Следователно наистина g(3) е определена. Функцията е дефинирана в тази точка. Четвъртото: g е непрекъсната в точката х=3? За да бъде непрекъсната функцията в тази точка, нейната граница трябва да съществува в нея, функцията трябва да е определена там и нейната стойност в тази точка да е равна на границата. Знаем, че функцията е определена за х=3. Но границата не съществува там. Следователно не може да е непрекъсната. В тази точка има прекъсване. Това твърдение не е вярно. Не мога да отбележа и „нкое от горните“, защото вече отбелязах някои като верни. Всъщност вече отбелязах две верни твърдения.