Точка на прекъсване на функция: труден пример

По-долу е показана графиката на функция f. Ако при двете граници на f от x са, когато х клони към k и ако f от k съществува, като f не е непрекъсната при k, каква е стойността на k? Трябва да намерим k, ако f не е непрекъсната в k, но f от k е определена. Границата, когато х клони към k на f от х е също определена. Най-лесният начин да го намерим просто като разгледаме графиката може да бъде като видим, къде f не е непрекъсната, къде f не е непрекъсната. Тук виждаш, че когато х е равно на минус 2, функцията не е непрекъсната. Тя отскача от тук горе. Изглежда, че тук тя клони към 3. И след това отскача надолу до минус 3. Това е единият от вариантите. Това е единият от вариантите за k. Другото прекъсване се случва, когато х е равно на 3. Още веднъж, скачаме надолу от -- изглежда като 4 и 1/2 чак до минус 4. Така че това е другият вариант. Това е точка, в която f не е непрекъсната. И след това когато х е равно на 8, имаме това. Изглежда, че функцията клони към 1. Но след това скача точно до х равно на 8. И след това отново продължава от 1. Така че това е другият вариант. Това са трите варианта за k, при които функцията не е непрекъсната. Сега нека помислим коя от тези точки, коя от тези х стойности прави f от k да съществува. Ако една от тях е k, тогава f от k съществува ли? Ами f от минус 2 съществува. f от 3 съществува ето тук. Това е f от 3. Това е f от минус 2. И f от 8, всичките съществуват. Всички тези потенциални k отговарят на условието - f от k да съществува и f да не е непрекъсната в k. Така че това е вярно за х равно на 8, 3 или минус 2. Сега нека разгледаме първото условие. Границата на f от х, когато х клони към k трябва да съществува. Ако се опитаме да разгледаме х равно на 2, границата на f от х, когато х клони към минус 2 -- не към 2, когато х клони към минус 2 -- границата отляво, границата за стойностите по-ниски от минус 2, изглежда, че функцията клони към нещо малко по-високо. Изглежда, че е малко по-висока от 3. А при границата отдясно, изглежда че функцията клони към минус 3. Следователно тази граница не съществува. Получаваш различна граница отляво и отдясно. Същото нещо важи и за х равно на плюс 3. Границата отляво изглежда, че клони към 4 и 1/2, докато границата отдясно изглежда, че клони към минус 4. Така че това също не е вариант. Останахме само с един. При него границата трябва да съществува. Виждаме, че границата, когато f от х клони към 8 откъм отрицателната посока, изглежда че f от х клони към 1. И изглежда, че когато клони към 8 от положителната страна, границата на f от х, когато х клони към 8 от положителната страна, е също равна на 1. Така че лявата и дясната граница клонят към една и съща стойност. Следователно границата на f от х, когато х клони към 8, е равна на 1. Тази граница съществува. Причината, поради която функцията не е непрекъсната там, е че границата на f от х, когато х клони към 8, която е равна на 1, не е равна на стойността на f от 8. Виждаме, че f от 8 е равно на 7. Ето защо тя среща последното условие. Функцията не е непрекъсната там. Функцията съществува. Тя е определена, f от 8 е равна на 7. И границата съществува. Но границата на f от х, когато х клони към k, не е същата като стойността на функцията, изчислена в тази точка. Така че х равно на 8 отговаря на всичките ни условия. Можем да кажем, че k е равно на 8.