Теорема за екстремалните стойности (теорема на Вайерщрас)

Ще разгледаме Теоремата на Вайерщрас за екстремните стойности. Която, както ще видим, се подразбира от само себе си. Но при всички тези теореми винаги е интересно да мислиш за крайни случаи. Защо е представена точно по този начин? И това може да ни даде малко повече усещане за теоремата. Теоремата на Вайерщрас гласи, че имаме някаква функция, която е непрекъсната в рамките на затворен интервал. Нека да кажем, че интервалът е от точка а до точка b. И когато казваме затворен интервал, това означава, че крайните точки a и b са включени в интервала. Ето защо имаме тези скоби тук, вместо кръглите скоби. Тогава ще съществува стойност на абсолютен максимум за функцията f и стойност на абсолютен минимум за функцията f. Тогава това означава, че съществува... това е логически символ, който означава съществуване – стойност на абсолютен максимум за f в рамките на дадения интервал, и стойност на абсолютен минимум за f в рамките на дадения интервал. Нека да помислим малко върху това. Може би е логично за теб. Може би се питаш: Защо въобще е било необходимо да създават теорема в такъв случай? И защо въобще трябва функцията да е непрекъсната в дадения интервал? И след секунда ще видим защо непрекъснатостта всъщност има значение. Това е моята ос х, а това е моята ос у. Нека да означим интервала. Интервалът е от a до b. Нека да кажем, че това е точката a, а това тук е точката b. Нека да кажем, че това ето тук е равно на f от а. Тоест, това е равно на f от а. Нека да кажем, че това ето тук е равно на f от b. Тоест, тази стойност тук е равна на f от b. И нека да кажем, че функцията прави нещо като ето това. Нека да кажем, че прави нещо ето такова като това в рамките на дадения интервал. И аз просто чертая нещо произволно ето тук. Начертах непрекъсната функция. Наистина не беше необходимо да повдигам молива си, когато начертах тази графика тук. И поне може да видиш, че по начина, по който начертах тази непрекъсната функция, е ясно, че съществува точка на абсолютен максимум и точка на абсолютен минимум в рамките на този интервал. Точката на абсолютен минимум изглежда, че се намира точно ето тук, където х е равно на... Нека да кажем, че това е х равно на с. А това е f от с ето тук. И изглежда сякаш функцията достига точка на абсолютен максимум в рамките на интервала точно ето тук, когато х е... да кажем, че това е х = d. А тази точка ето тук е f от d. Друг начин да изкажеш това твърдение ето тук е следният. Ако функцията f е непрекъсната в рамките на интервала, то може да кажем, че съществуват числа c и d, които са част от интервала Тези числа са част от множеството, което е в рамките на интервала, такива че – и тук ще използвам знак за логическо следствие – такива, че f от c е по-малко или равно на f от x, което е по-малко или равно на f от d, за всяко число х от този интервал. За всяко число х от този интервал. Ето така. В този случай си казваш, виж, достигаме нашата минимална стойност тук, когато х е равно на с. Това е точно ето тук. А нашата максимална стойност, когато х е равно на d. И за всички останали стойности х в интервала функцията се намира между тези две стойности. Можех да начертая други непрекъснати функции. Още веднъж, няма да правя доказателство на Торемата за екстремните стойности. Но просто ще те запозная с нея и защо е формулирана по начина, по който е формулирана. Може да начертаеш един куп функции тук, които са непрекъснати в рамките на този затворен интервал. Ето тук точката на максимум попада точно там, където достигаме до b. А точката на минимум попада точно там, където достигаме до а. За линейна функция може да поставим коя да е точка като точка на максимум или минимум И ще видим, че това действително ще бъде вярно. Нека да навлезем малко по-дълбоко като например се запитаме защо функцията f трябва да бъде непрекъсната, и защо трябва този интервал да е затворен. Първо нека да помислим защо f трябва да бъде непрекъсната. Е, лесно мога да съставя функция, която е прекъсната в рамките на затворен интервал, където е трудно да се определи точка на минимум или максимум. И те окуражавам да спреш видеото и да се опиташ да съставиш такава функция самостоятелно. Опитай се да съставиш прекъсната функция в рамките на затворен интервал, където ще бъде много трудно, или не може действително да намериш точка на абсолютен минимум или абсолютен максимум. Е, нека да видим. Нека да начертая една графика тук. Нека да кажем, че това ето тук е моят интервал. Нека да кажем, че тази точка е a, а тази точка е b. Нека да кажем, че функцията е направила нещо такова. Нека да кажем, че функцията прави нещо точно там, където очакваш да има максимална стойност, и не е дефинирана в тази точка. И точно там, където очакваш да има минимална стойност, функцията не е дефинирана. И точно тук може да кажеш следното: "Добре, виж, че функцията категорично клони – когато х клони към тази стойност тук – функцията категорично клони към тази граница. Но тази граница не може да е максимум, защото функцията никога не достига до нея. Може да кажеш, нека да е в някаква близка стойност тогава. Може би това число ето тук е равно на 5. Тогава може да заявиш: "Може би максимумът е в точката 4,9." Тогава може да избереш стойност, която е дори още по-близо до тази стойност и да избереше стойността у да е равна на 4,99 или 4,999. Може да продължиш да добавяш цифрата 9, но на това място функцията няма максимална стойност. Подобна е ситуацията ето тук, в точката на минимум. Нека да я начертая малко по-добре, за да прилича повече на минимум. Може да се приближаваш все повече и повече до тази стойност – но там няма минимум. Нека да кажем, че тази стойност ето тук е равна на 1. Може да достигнеш до 1,1 или 1,01, или 1,0001 и т.н. Може да продължиш да добавяш нули между двете единици, но в тази точка няма абсолютен минимум. Нека сега да помислим, защо има значение, че интервалът е затворен. Защо е необходимо да включваш крайните точки като кандидати за твоите максимални или минимални стойности в рамките на интервала. Е, нека да си представим, че интервалът е отворен. Нека да си представим отворен интервал. И понякога, ако искаме да бъдем конкретни, може да направим това да е затворен интервал, точно ето тук в скобите. А ако искаме да означим отворен интервал, точно ето тук, то това е a, а това е b. И нека просто да изберем много проста функция. Нека да кажем, че е функция като тази. Точно ето тук, ако а се намираше в нашия интервал, изглежда, че функцията достига до минимална стойност в точката а. f от a би било минималната стойност. А f от b изглежда, че би била максималната стойност. f от b би била максималната стойност. Но не включваме а и b в интервала. Това е отворен интервал, така че можеш да се приближаваш все повече и повече до b и до все по-високи и по-високи стойности, без да достигаш до числото b. Още веднъж, това е така, защото точката b не е включена в интервала. Аналогично, може да се приближаваш все повече и повече към числото а и да получаваш все по-малки и по-малки стойности. Но а не е включена в множеството, което разглеждаш. Тогава f от а не може да бъде минималната стойност на функцията. От една страна това е много интуитивно, почти очевидна теорема. Но от друга страна е добре да се разбере защо са казали, че функцията трябва да е непрекъсната, и защо са казали, че трябва да е в затворен интервал като този.