Нули на многочлени: определяне на уравненията, които съответстват на зададените в условието нули

Многочленът (полиномът) р има нули за х равно на –4, х равно на 3 и х равно на 1/8. Какъв може да е изразът на многочлена р? Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно да го решиш, преди да го решим заедно. Добре. Информацията, че тези стойности са нули на многочлена, означава, че когато х е равно на някоя от тези стойности, многочленът р(х) е равен на нула. Значи р(–4) е равен на нула, р(3) е равно на нула и р(1/8) е равно на нула. И дори преди да разгледам тези предложени варианти, искам да конструирам един многочлен, за който това е изпълнено. Това ще е вярно, ако можем да изразим многочлена като произведение от изрази, които ще са равни на нула за всяка от тези стойности на х. Кой израз би бил нула, когато х е равно на –4? Това е изразът (х + 4), който ще е равен на нула, когато х е равно на –4. това ми харесва. Кой израз би бил равен на нула, когато х е равно на 3? Как ти се струва изразът (х – 3)? Ако х е равно на 3, тогава този израз ще е равен на нула. Нула по всяко число дава нула. Значи р(3) би бил нула в този случай. Кой израз би бил нула, когато х е равно на 1/8? Това е изразът х минус 1/8. Сега... Но това не са единствените изрази. Можем да ги умножим по константи и тогава тези зависимости пак ще бъдат верни. Но по същество нашият многочлен ще изглежда ето така. Можеш да провериш това. Ако х е равно на –4... Ако х е равно на –4, тогава този първият израз ще е нула. Нула по всяко нещо дава нула. Същото важи за х = 3. Ако този израз тук... Ако х е равно на 3, тогава (х – 3) ще е нула, а нула по нещо, по нещо дава нула. После, ако х е 1/8, този израз тук ще е равен на нула. Нула по нещо, по нещо пак е равно на нула. Кой от предложените варианти изглежда по този начин? Да видим. х плюс 4... Виждам това в отговор В. Виждам го и в отговор D. Отговор С има (х – 4). Той ще е нула, когато х е равно на 4. Ако х е равно на 4, тази първата част, първият член – първата част на израза ще е равна на нула. Но нас ни интересува, когато х е равно на –4. Така че аз ще изключа отговор С и по същата причина ще изключа и отговор А. Избираме между В и D, да видим сега. Кой от тези изрази съдържа (х – 3)? Виждаме (х – 3) ето тук. Виждаме (х – 3) и ето тук. Значи продължават да ми харесват и В, и D. Ще поставя още една отметка тук. Последно, но не по значение, кой от тези изрази ще е равен на нула, когато х е равно на 1/8? Да видим. Ако умножим 1/8 по 1/8 тук, ще получа 1/64 в тази част на израза. Тогава това няма да е равно на нула. Тези другите две члена ще са равни на нула, когато х е равно на 1/8, така че този отговор не ми харесва. Да проверим другия. Тук има... Ако х е равно на 1/8, тогава имаме 8 по 1/8, което е равно на 1, минус 1. Това ще е равно на нула, значи този вариант е подходящ. Тук може би си казваш: "Хей, този последният многочлен изглежда по-различно от многочлена, който ние съставихме горе, когато просто търсехме за кой многочлен това би било вярно." Както споменах вече, можеш да умножиш това по някакви константи и това пак ще е вярно. Ако просто умножа това, ако умножим това по 8, ще получим р(х) ето тук, защото ако умножим това по 8, това не променя нулите. ако разкрием скобите и умножим по това 8, последният израз ще стане 8х – 1. Точно същото като това, което направихме ето тук долу.