Определяне на нулите на многочлени с разлагане на множители: общ множител

Даден ни е многочленът от трета степен р(х) и трябва да начертаем нулите или пресечните точки с оста х на графиката на многочлена на този интерактивен чертеж. Причината да се нарича интерактивен чертеж е – тук показвам снимка от екрана на това упражнение на сайта на Кан Академия. Там можеш да кликнеш и да поставиш нулите. Но важното тук е да намерим кои са стойностите на х, за които многочленът р(х) е равен на нула, и това са нулите. После можем да ги начертаем. Постави видеото на пауза и опитай да ги намериш самостоятелно. Основното тук е да разложим този израз, този многочлен от трета степен, защото искаме да намерим стойностите на х, за които изразът 5х^3 + 5х^2 – 30 х е равен на нула. Начинът да направим това е да разложим този израз тук отляво. Винаги първото нещо, което търсим, е общи множители между членовете. Тук изглежда, че всички членове се делят на 5х. Значи ще изнесем пред скоби 5х. Това става 5х по, ако изнесем 5х от 5х^3, ще ни остане само х^2. Ако изнесем 5х от 5х^2, ще ни остане само плюс х. Ако изнесем 5х от минус 30 х, ще ни остане само минус 6, всичко това е равно на нула. Сега получихме 5х по този многочлен от втора степен. За да го разложим, да видим, има ли две числа, чийто сбор е едно – това тук можем да приемем като едно по х, а произведението им да е равно на –6? Да видим, +3 и –2 може би са подходящи. Ще преработя това като 5х по... значи (х + 3) по (х – 2) – ако това ти е непознато, препоръчвам ти да преговориш разлагане на квадратни изрази в Кан Академия. Всичко това тук е равно на нула. Ако искам да намеря кои стойности на х ще направят целия този израз нула, това може да са стойностите на х, за които 5х е равно на нула, защото ако 5х е нула, нула по всичко друго дава нула. Коя стойност на х прави 5х да е равно на нула? Ако разделим на 5 и двете страни на равенството, ще получим х равно на нула. В този случай, ако х е равно на нула, това става нула, и тогава няма значение стойността на тези членове, нула по всяко друго нещо дава нула. Другата възможна стойност на х, за която изразът е нула, е стойността на х, за която (х + 3) е равно на нула. Изваждаме от двете страни 3 и получаваме, че х е равно на –3. Другата стойност на х е тази, за която (х – 2) е равно на нула. Добавяме 2 към двете страни и получаваме х = 2. Получихме ги. Намерихме три стойности на х, за които многочленът е равен на нула и това са нулите или пресечните точки с оста х. Имаме една нула при х = 0. Имаме друга нула при х = –3. Имаме нула и при х = 2. Причината да правим това, защо правим това упражнение, ако го правиш на сайта на Кан Академия, там просто ще кликнеш върху тези три места, но това упражнение е полезно, защото ни помага да си представим каква би била графиката на многочлена. Тъй като графиката има пресечни точки с оста х в тези точки. Графиката може би изглежда ето така, може би изглежда така. За да намерим точната графика вероятно трябва да заместим още няколко стойности на х между тези пресечни точки, за да получим обща представа за графиката на многочлена.