Основно съдържание
11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ
Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ > Раздел 2
Урок 3: Нули на полином – преговор- Въведение към нули на многочлени
- Нули на многочлени: графично изобразяване на нулите
- Нули на многочлени: определяне на уравненията, които съответстват на зададените в условието нули
- Нули на многочлени: определяне на уравненията, които съответстват на зададена в условието графика
- Определяне на нулите на многочлени с разлагане на множители: групиране
- Определяне на нулите на многочлени с разлагане на множители: общ множител
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Определяне на нулите на многочлени с разлагане на множители: групиране
Ако ни е даден многочлен в разложен вид, можем бързо да определим неговите нули. Но ако многочленът е развит, можем да го разложим и после да намерим нулите му! Виж пример за многочлен от трета степен, който можем да разложим с помощта на групиране на членовете.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Дадено е, че многочленът (полиномът)
р(х) е равно на този израз тук. Трябва да нанесем всички нули или
пресечни точки на графиката с оста х за многочлена ето тук на
тази интерактивен чертеж. Това е интерактивен чертеж,
защото – тук показвам снимка от екран с това
упражнение в Кан Академия. В самата Кан Академия можеш
да кликнеш върху чертежа и да поставиш точки, можеш да ги премахнеш
или да ги преместиш, така че това е
интерактивен чертеж. Но тук показвам просто
снимка от екрана, затова ще нанасям отгоре. Целта ни е да намерим
нулите за този многочлен и после просто да ги
означим на чертежа, така че постави видеото
на пауза и опитай самостоятелно. За да намериш нулите
на този многочлен, трябва просто да намериш
кои са стойностите на х, за които този многочлен
е равен на нула. Друг начин да разсъждаваме
е: кои са стойностите на х, за които е изпълнено
това равенство. х^3 плюс х^2 минус 9х минус 9
равно на нула. Най-добрият начин
да решим тази задача, е да опитаме да разложим
този израз. Това е многочлен
от трета степен, така че не винаги
е възможно разлагането, но да видим дали
ще успеем. Първото нещо, което
търся, са общи множители на всички членове,
но тук изглежда няма такива. Следващото нещо,
което правя, е да помисля дали
разлагането с групиране е приложимо в този случай. Когато имам предвид
разлагане чрез групиране, разглеждам първите два члена
и последните два члена, и се питам: "Има ли нещо,
което мога да изнеса извън скоби от първите два члена
и после се питам кое е най-голямото нещо,
което мога да изнеса пред скоби от първите два члена. След това кое е най-голямото
нещо, което мога да изнеса пред скоби от последните два члена, а после дали ще ми остане
нещо еднакво, след като разложа. Имам предвид, че
за тези първите два члена имаме общ множител х^2, така че изнасям
пред скоби х^2, и тези първи два члена
стават х^2 по (х + 1). След това от вторите два члена мога да изнеса пред скоби –9, така че мога да преработя това
като –9 по (х + 1). Тук всичко се получи
много добре, защото сега виждаме,
ако разгледаш израза, ако сега разглеждаме
това като първи член, а това като втори член, сега виждаме, че (х + 1)
е множител и в двата, следователно можем
да го изнесем пред скоби. Можем да изнесем
пред скоби (х + 1). Ще използвам този
светлосин цвят, всъщност ще използвам
малко по-тъмно светлосиньо. Значи изнасям пред
скоби (х + 1). Получаваме (х + 1) по
(х^2 – 9). Това е равно на нула. Но още не сме приключили
с разлагането, защото сега тук имаме разлика
на квадрати. x^2 – 9 ще е равно на – само ще запиша всичко това – значи имаме (х + 1) тук. После имаме (х^2 – 9), което можем да представим
като (х + 3) по (х – 3). Ако нещо от това, което правя,
ти се струва непознато, ако първото разлагане
ти е непознато, те насърчавам да си преговориш
разлагането чрез групиране. Ако тази част ти е непозната, препоръчвам ти да преговориш
разлагането на разлика от квадрати. И всичко това е равно на 0. Сега, ако произведението на
няколко члена е равно на нула, ако някой от тези членове
е равен на нула, тогава цялото произведение
е равно на нула. Значи имаме ситуация,
в която едното решение е това
решение, при което (х + 1) е равно на нула, като пак повтарям –
ще използвам по-тъмен цвят, (х + 1) е равно на нула, и тогава х е равно на –1. Другото решение е когато (х + 3) е равно на нула. Тогава х е равно на –3, изваждаме 3 от двете страни, а другото решение е тази стойност на х, за която
(х – 3) е равно на нула, добавяме 3 към двете
страни на равенството, получаваме х = 3. И сме готови. Намерихме нашите
три нули. Нашият многочлен, изчислен за някоя от
тези стойности на х, е равен на нула. На сайта на Кан Академия точките могат
да се нанасят на интерактивния чертеж, но сега аз просто
ще нанасям отгоре. Значи имаме х = –1, което е това ето тук, х равно на –3, това е тази точка тук, и х равно на 3,
което е ето тук. Причината да правим
този вид упражнения, това, което искат от нас
в тази задача, и което направихме,
причината това да е полезно е, че може да ни даде
представа за графиката. Това ни показва къде
графиката пресича оста х. Графиката може да изглежда
някак ето така, или може да е
нещо такова, но трябва да разгледаме другата информация,
за да я определим. За момента спирам дотук.