Определяне на нулите на многочлени с разлагане на множители: групиране

Дадено е, че многочленът (полиномът) р(х) е равно на този израз тук. Трябва да нанесем всички нули или пресечни точки на графиката с оста х за многочлена ето тук на тази интерактивен чертеж. Това е интерактивен чертеж, защото – тук показвам снимка от екран с това упражнение в Кан Академия. В самата Кан Академия можеш да кликнеш върху чертежа и да поставиш точки, можеш да ги премахнеш или да ги преместиш, така че това е интерактивен чертеж. Но тук показвам просто снимка от екрана, затова ще нанасям отгоре. Целта ни е да намерим нулите за този многочлен и после просто да ги означим на чертежа, така че постави видеото на пауза и опитай самостоятелно. За да намериш нулите на този многочлен, трябва просто да намериш кои са стойностите на х, за които този многочлен е равен на нула. Друг начин да разсъждаваме е: кои са стойностите на х, за които е изпълнено това равенство. х^3 плюс х^2 минус 9х минус 9 равно на нула. Най-добрият начин да решим тази задача, е да опитаме да разложим този израз. Това е многочлен от трета степен, така че не винаги е възможно разлагането, но да видим дали ще успеем. Първото нещо, което търся, са общи множители на всички членове, но тук изглежда няма такива. Следващото нещо, което правя, е да помисля дали разлагането с групиране е приложимо в този случай. Когато имам предвид разлагане чрез групиране, разглеждам първите два члена и последните два члена, и се питам: "Има ли нещо, което мога да изнеса извън скоби от първите два члена и после се питам кое е най-голямото нещо, което мога да изнеса пред скоби от първите два члена. След това кое е най-голямото нещо, което мога да изнеса пред скоби от последните два члена, а после дали ще ми остане нещо еднакво, след като разложа. Имам предвид, че за тези първите два члена имаме общ множител х^2, така че изнасям пред скоби х^2, и тези първи два члена стават х^2 по (х + 1). След това от вторите два члена мога да изнеса пред скоби –9, така че мога да преработя това като –9 по (х + 1). Тук всичко се получи много добре, защото сега виждаме, ако разгледаш израза, ако сега разглеждаме това като първи член, а това като втори член, сега виждаме, че (х + 1) е множител и в двата, следователно можем да го изнесем пред скоби. Можем да изнесем пред скоби (х + 1). Ще използвам този светлосин цвят, всъщност ще използвам малко по-тъмно светлосиньо. Значи изнасям пред скоби (х + 1). Получаваме (х + 1) по (х^2 – 9). Това е равно на нула. Но още не сме приключили с разлагането, защото сега тук имаме разлика на квадрати. x^2 – 9 ще е равно на – само ще запиша всичко това – значи имаме (х + 1) тук. После имаме (х^2 – 9), което можем да представим като (х + 3) по (х – 3). Ако нещо от това, което правя, ти се струва непознато, ако първото разлагане ти е непознато, те насърчавам да си преговориш разлагането чрез групиране. Ако тази част ти е непозната, препоръчвам ти да преговориш разлагането на разлика от квадрати. И всичко това е равно на 0. Сега, ако произведението на няколко члена е равно на нула, ако някой от тези членове е равен на нула, тогава цялото произведение е равно на нула. Значи имаме ситуация, в която едното решение е това решение, при което (х + 1) е равно на нула, като пак повтарям – ще използвам по-тъмен цвят, (х + 1) е равно на нула, и тогава х е равно на –1. Другото решение е когато (х + 3) е равно на нула. Тогава х е равно на –3, изваждаме 3 от двете страни, а другото решение е тази стойност на х, за която (х – 3) е равно на нула, добавяме 3 към двете страни на равенството, получаваме х = 3. И сме готови. Намерихме нашите три нули. Нашият многочлен, изчислен за някоя от тези стойности на х, е равен на нула. На сайта на Кан Академия точките могат да се нанасят на интерактивния чертеж, но сега аз просто ще нанасям отгоре. Значи имаме х = –1, което е това ето тук, х равно на –3, това е тази точка тук, и х равно на 3, което е ето тук. Причината да правим този вид упражнения, това, което искат от нас в тази задача, и което направихме, причината това да е полезно е, че може да ни даде представа за графиката. Това ни показва къде графиката пресича оста х. Графиката може да изглежда някак ето така, или може да е нещо такова, но трябва да разгледаме другата информация, за да я определим. За момента спирам дотук.