If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ

Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ > Раздел 2

Урок 4: Нули на полином
Математика
11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ
Полиноми на една променлива – теорема на Безу, схема на Хорнер, нули на полином
Нули на полином
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Нули на многочлени и техните графики

Класна стая на Google
Научи каква е връзката между даден многочлен и неговите нули, корени и ординатите на пресечните точки на графиката му с оста x. Научи за кратността на нулите на многочлен.

Какво ще научиш в този урок

Когато изучаваш многочлените, често ще чуваш термините нули, корени, множители и пресечна точка с оста x.
В тази статия ще проучим тези характеристики на многочлените и специалните отношения, които имат те помежду си.

Фундаментални връзки за полиномни функции

За един многочлен f и едно реално число k са еквивалентни следните твърдения:
  • x=k е корен или решение на уравнението f(x)=0
  • k е нула на функцията f
  • точката (k;0) е пресечната точка на графиката на функцията y=f(x) с оста x
  • x−k е линеен множител на f(x)
Да вземем като пример многочлена g(x)=(x−3)(x+2), който може да се представи и като g(x)=(x−3)(x−(−2)).
Виждаме, че линейните множители на многочлена g(x) са (x−3) и (x−(−2)).
Ако вземем g(x)=0 и намерим стойността на x, получаваме, че x=3 или x=−2. Това са решенията или корените на уравнението.
Нула на една функция е такава стойност на променливата x, за която стойността на функцията е 0. След като знаем, че x=3 и x=−2 са решения на g(x)=0, тогава 3 и −2 са нули на функцията g.
Пресечната точка с оста x на графиката на y=g(x) удовлетворява уравнението 0=g(x), което беше решено по-горе. Пресечните точки с оста x за уравнението са (3;0) и (−2;0).

Провери знанията си

1) Кои са нулите на f(x)=(x+4)(x−7)?
Избери един отговор:

2) Графиката на функцията g пресича оста x в точката (2;0). Колко е коренът на уравнението g(x)=0?
x=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

3) Нулите на функцията h са −1 и 3. Коя от следните функции е h(x)?
Избери един отговор:

Нули и кратност на нулите

Когато един линеен множител се среща повече от веднъж в разложения вид на един многочлен, можем да определим кратността на съответната нула.
Например в многочлена f(x)=(x−1)(x−4)2 числото 4 е двукратна нула.
Забележи, че когато разложим f(x), множителят (x−4) е записан 2 пъти.
f(x)=(x−1)(x−4)(x−4)
Това означава, че когато решиш уравнението fx)=0, ще получиш корен x=4 два пъти.
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4
По същество, ако x−k се появява m пъти при разлагането на множители на един многочлен, то k е нула с кратност m. Нула с кратност 2 се нарича двукратна нула.

Провери знанията си

4) Коя нула на f(x)=(x−3)(x−1)3 има кратност 3?
Избери един отговор:

5) Коя нула на g(x)=(x+1)3(2x+1)2 е двукратна нула?
Избери един отговор:

Графично представяне

Кратността на една нула е важна, понеже ни показва какво поведение има графиката на многочлена около нулата.
Обърни внимание, че графиката на f(x)=(x−1)(x−4)2 се държи по-различно около нулата 1, отколкото около нулата 4, която е двукратна нула.
По-точно графиката пресича оста x в x=1, но само докосва оста x в x=4.
Нека разгледаме графиката на една функция, която има същите нули, но с различни кратности. Нека да разгледаме g(x)=(x−1)2(x−4). Забележи, че за тази функция 1 сега е двукратна нула, докато 4 е еднократна нула.
Сега виждаме, че графиката на g докосва оста x в x=1 и пресича оста x в x=4.
Като цяло, ако една функция f има нула с нечетна кратност, графиката на y=f(x) ще пресича оста x за тази стойност на x. Ако функцията f има нула от четна кратност, графиката на y=f(x) ще докосва оста x в тази точка.

Провери знанията си

6) За графично представената функция, кратността на нулата 6 четна ли е, или е нечетна?
Избери един отговор:

7) Коя е графиката на функцията h(x)=x2(x−3)?
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност

8*) Коя графика съответства на функцията f(x)=−x3+4x2−4x?
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.