Защо действа схемата на Хорнер

Искам да опростя абсолютно същия израз, но с традиционно алгебрично дълго деление. И се надявам, че ще видим защо синтетичното деление ни дава точно същия резултат. Също така ще успеем да видим връзките между синтетичното делене и алгебричното дълго деление. Нека започнем. Ако ще извършваме алгебрично дълго деление и го поставим правилно тук горе, първото нещо, за което искаме да помислим, е колко пъти членът от най-висока степен тук, което е х, се съдържа в члена от най-висока степен тук, което е 3х^3. х се съдържа 3х^2 пъти в 3х^3 . Така че ще го запишем над мястото на х^2, 3х^2. Може вече да виждаш паралела. Когато извършихме синтетичното деление, спуснахме това 3 право надолу и това 3 представляваше 3х^2. Това 3 и това 3х^2 представляват едно и също нещо. Но може да си кажеш, че тук трябва да разсъждаваме малко повече. Трябваше да кажем, че х се съдържа 3х^2 пъти в 3х^3. Тук, без да разсъждаваме, спуснахме това 3 право надолу. Как проработи това? Причината да можем без да мислим да спуснем това 3 право надолу е понеже приехме, че за да извършим този основен вид синтетично деление, тук имахме само х. Нямахме 3х. Нямахме 4х. Нямахме х^2. Имахме просто х. И ако разделиш на х члена от най-висока степен, коефициентът ще е точно същото нещо. Просто ще е с една степен по-нисък. Преминаваш от 3х^3 до 3х^2 – абсолютно същият коефициент. И тук в малкото ни синтетично деление това е членът х^2. Така че премина от 3х^3 до 3х^2. По същество, разделихме на х. И можем да го направим без да мислим, понеже приехме, че тук си имаме работа просто с 1х^1. Но нека продължим и да видим паралелите и защо правим напълно същото нещо. Нека вземем това 3х^2 и да го умножим по (х + 4). 3х^2 по х – ще го направя в бял цвят – това ще е 3х^3. И 3х^2 по 4 ще е 12х^2. И сега искаме да извадим това. Изваждаме. Изваждаме това. Тези се унищожават и имаш 4х^2 - 12х^2. И това ще ти даде -8х^2. Отново, вероятно виждаш някои паралели. Тук имаше 4х^2. Тук имаш 4х^2. Просто записахме коефициентите, но това представляват те. 4х^2 – тук записахме 4. После извадихме 12х^2. И получихме това 12, като умножихме 3 по 4 и после извадихме. Тук умножаваме 3 по -4. По същество, умножаваме 3 по 4 и после изваждаме. Ето защо тук поставихме този отрицателен знак, така че да не трябва постоянно да помним да изваждаме този ред. Така че можем просто да продължим да ги събираме. Но всъщност направихме именно това. Умножихме 3 по това 4. И сега го изваждаме. Получаваме това -12х^2. И после извадихме и се получи -8х^2. И може да се запиташ дали това е същото -8 като това тук. Не точно, понеже ето тук това -8 буквално представлява -8х. Това е част от опростяването ни. Когато делим това на това, получаваме 3х^2 - 8х + 30. Така че тук, в алгебричното дълго деление, после казваме колко пъти (х + 4) се съдържа в -8х^2. х се съдържа -8х пъти в -8х^2. Това тук е най-важното – х се съдържа в това -8х пъти. Отново, причината да успяхме просто да поставим това -8 тук е, че знаем, че делим просто на 1х. Така че ще имаш точно същия коефициент, просто с една степен по-нисък. Това тук е членът ни х и го виждаш ето тук. Голяма част от опростяването идва от идеята, че при синтетичното делене приемаме, че това е 1х. Но нека продължим. Имаш -8х по това тук и това ти дава -8х по х е -8х^2. И после имаш -8х по 4, което е -32х. И можем да свалим всичко това ето тук, за да стане малко по-просто. Имаш -2х. И после тук имаш минус 1. Отново, когато извършваш традиционното алгебрично дълго делене, тогава ще извадиш това от това тук горе. Ако изваждаме, това е като събиране на отрицателното. Тези се унищожават. Имаш -2х + 32х. Това ни дава 30х. И после можем да свалим това -1, ако искаме. Ще направя това в жълто. Ще свалим това -1. Това 30 има същия коефициент тук. Но това 30 трябва да е тук горе. Това ще е част от финалния ни отговор. И за да стигнем до това, отново, всичко произлиза от факта, че знаем, че тук имахме х, когато извършихме синтетичното деление. 30х, делено на х, просто ще е 30. Това 30 и това 30 са едно и също нещо. И после умножаваме. 30 по х е 30х. Нека запиша 30х в бяло, понеже така го отбелязвах преди – 30х. 30 по 4 е 120. И после ще извадим това от това. Получаваме -1 минус 120 е -121, което, ето тук, е остатъкът ни – точно това, което получихме тук. Надявам се, че виждаш връзката. Понеже приемаме, че ще делим на х плюс или минус нещо, успяхме да опростим малко. Когато делиш това на х, знаеш, че това ще има същия коефициент, просто с една степен по-нисък. И продължихме да правим това. Това ни позволи да по-бързо да опростим това и да използваме по-малко място.