If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:3:04

Определяне границите на частни, съдържащи тригонометрични функции, при аргумент, клонящ към безкрайност (недефинирани граници)

Производната като граница

Видео транскрипция

Да опитаме да намерим границата при х, клонящо към безкрайност на косинус от х върху х на квадрат минус 1. Както винаги, остави видеото на пауза и опитай най-напред самостоятелно. И така, можем да подходим по два начина. Може просто да разсъждаваме: числителят ни е косинус от х и неговите стойности са винаги между –1 и 1. Косинус от х винаги е по-голям или равен на –1, или имаме, че –1 <= cos х, също така и cos x <= 1. Числителят се движи като вълна между стойностите –1 и 1, когато х се променя, в нашия случай с нарастването на х. Колкото до знаменателя, в него има x², което при все по-големи стойности на х става много, много голямо. Излиза, че имаме числител, ограничен между –1 и 1, който е разделен на безкрайно голямо число. Когато имаме такъв ограничен числител и го разделим на безкрайно голям знаменател, знаем, че частното ще се стреми към нула. Това е единият начин на мислене. Другият начин е да представим същото разсъждение по математически издържан начин. Тъй като имаме това ограничение за косинуса, то можем да кажем, че косинус от х върху х^2 – 1 е по-малко или равно на... най-голямата стойност, която може да приеме числителят е 1, затова този израз е по-малък или равен на 1 върху x² - 1. От другата страна изразът също е ограничен: той е по-голям или равен на... най-малката стойност на числителя е минус едно, затова тук е минус 1 върху x² - 1. Повтарям, че получих това, като използвах, че косинус х може да бъде най-много 1 и най-малко –1. И така, това неравенство е вярно за всички стойности на х. Можем да кажем също, че границите на тези изрази при х, клонящо към безкрайност, ще изпълняват това неравенство: дописвам знака за граница. Тук също. Сега можем да приложим това разсъждение: числителят е константа, а знаменателят става безкрайно голям, затова тази граница е нула. Получихме, че нула е по-малко или равно на границата при х, клонящо към безкрайност на косинус х върху x² - 1, което, от своя страна, е по-малко или равно отново на нула. Отдясно също имаме константа в числителя и клонящ към безкрайност знаменател. Затова там също е нула. И така, нашата граница е между две нули. Щом като 0 е по-малко или равно на нашата граница и тя е по-малка или равна на нула, то за нея остава единствено да е равна на нула.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".