Определяне границите на разлика от функции, при аргумент, клонящ към безкрайност

Нека да помислим за границата на sqrt(100 + x) - sqrt(x) (квадратен корен), когато x клони към безкрайност. Окуражавам те да спреш видеото и да се опиташ да я намериш самостоятелно. Предполагам, че вече го направи. Нека първо просто да помислим, преди да преобразуваме задачата алгебрично по някакъв начин. Какво се случва, когато x стане наистина, наистина, ама наистина голяма стойност, т.е. когато x клони към безкрайност? Е, дори и това 100 да е относително голямо число, когато x стане наистина голяма стойност, милиард, трилион, трилиони, и дори още по-голяма, трилион, трилион, трилиони, може да си представиш, че стотицата под знака на корена започва да има все по-малко значение. Когато x достига наистина, наистина големи числа, корен от (100 + x) ще бъде приблизително същото нещо, както корен от (x). И така за наистина големи, големи, големи хиксове, може да направим извод, че корен от (100 + x) ще бъде приблизително равно на корен от (x). В тази реалност достигаме наистина, наистина големи стойности за x. Действително няма нищо по-голямо, където x може да продължи да нараства, така че тези две неща да бъдат приблизително равни. Следователно има смисъл да вярваме, че границата, когато x клони към безкрайност тук, ще бъде 0. Изваждаш това от нещо, което е доста подобно на него. Но нека всъщност да направим някакво алгебрично преобразуване, за да придобием по-добро усещане за това, вместо този несериозен аргумент за стотицата, която няма да има голямо значение, когато x стане наистина, наистина, наистина голямо число. Нека да преработя този израз и да видим дали можем да го преобразуваме по интересни начини. Това е корен от (100 + x) – корен от (x). Нещо, което може да изскочи винаги, когато видиш един корен минус друг корен като това, е, може би можем да го умножим по неговия спрегнат, и някак да се отървем от корените. Или поне да трансформираме израза по начин, който може да е по-полезен, когато се опитаме да намерим границата, когато x клони към безкрайност. Очевидно не можем просто да го умножим по каквото и да е така произволно, за да не променяме стойността на израза. Може само да го умножим по 1. Нека да го умножим по някаква форма на 1, но такава, че да ни помага, която реално се състои от спрегнатия му радикал. Нека да умножим това. Нека да умножим това по квадратен корен от (100 + x) плюс квадратен корен от (x), цялото върху същото нещо. sqrt(100 + x) + sqrt(x). Сега забележи, че това разбира се е точно равно на 1. А причината, поради която искаме да го умножим по спрегнатия му израз, е, че може да се възползваме от формула за съкратено умножение. Това ще бъде равно на... т.е. в нашия числител просто ще имаме квадратен корен от 100. Нека всъщност да го запиша по следния начин. sqrt(100 + x) + sqrt(x). А в числителя имаме sqrt(100 + x) минус sqrt(x) умножено по това нещо. По sqrt(100 + x) + sqrt(x). Ето тук реално умножаваме (a + b)*(a – b). Ще получим разлика от квадрати. Следователно това ще бъде равно на... т.е. ето тази горна част ето тук ще бъде равна на това. Нека да го направя в различен цвят. Ще бъде равно на това нещо, повдигнато на квадрат, минус това нещо, повдигнато на квадрат. На колко е равно sqrt(100 + x) на квадрат? Ами, това е просто 100 + x. 100 + x А след това, колко е sqrt(x) на квадрат? Това просто е x. И така, минус x и виждаме, че това започва приятно да се опростява. Всичко това е върху sqrt(100 + x) + sqrt(x). И тези хиксове, т.е. (x – x), просто не остава нищо. И така, оставаме със 100 върху sqrt(100 + x) + sqrt(x). Сега може да преработим първоначалната граница като граница за x клонящо към безкрайност... Вместо това, ние го преработихме алгебрично, за да стане това. И така граница, когато x клони към безкрайност, на 100 върху sqrt(100 + x) + sqrt(x). Сега става много по-ясно. Имаме фиксиран числител. Този числител просто остава 100. Но знаменателят ето тук просто продължава да нараства. Ще стане неограничен. Така че, ако просто увеличаваш знаменателя, докато числителят остава фиксиран, реално имаш фиксиран числител с нарастващ, или супер голям, или безкрайно голям знаменател. Следователно това ще клони към 0, което отговаря на първоначалното ни усещане.