Това са двата начина,
по които ще видиш, да се определят
производни с граници. Ако тук разглеждаме
производната на точка, тук разглеждаме производната като цяло,
но двете са еквивалентни. И двете се основават на
наклона на допирателната или моментната скорост
на изменение, и използвайки тези,
искам да установя някои от основните свойства на
производните. Първото, което ще направя,
ще изглежда много просто или поне ще изглежда,
след като поговорим малко за това. Ако f от х, ако нашата функция
е равна на константа, тогава f прим oт х ще бъде равно на 0. Защо това звучи
логично? Можем да го начертаем. Нека това е оста у,
а това е оста х. Ако искам да начертая
у = f(х), ще изгледа така, където
това е при стойност у = к, следователно
това е у = f(х). Забележи, че както и да промениш х,
у не се променя. Наклонът на допирателната тук...
ами всъщност, тя е същата права...
наклонът е 0. Тук у просто не се променя и можем да използваме
и двете дефиниции, за да установим това допълнително.
Да го установим, използвайки тези дефиниции за граница.
Да видим. Границата при h клонящо към 0
на f от х плюс h, без значение какво въведем
в нашата функция, получаваме к. Следователно f от x плюс h
ще бъде k минус f от х. Без значение какво въведем
в тази функция, получаваме k върху h.
Това ще бъде просто 0 върху h, следователно тази
граница ще бъде равна на 0. Следователно f прим от х за всяко х,
производната ще е 0. Виждаш, че наклонът на
допирателната за всяко х е равен на 0. Затова ако някой дойде при теб
на улицата и те пита: "Добре, h от х е равно на пи, колко е h прим от х?" Ти ще отвърнеш: "Пи е просто
константна стойност, стойността на нашата функция
не се променя, когато променяме х,
наклонът на допирателната, моментната скорост
на изменение ще бъде равна на 0.