Производна на функцията tan(x) (старо)

В последното видео видяхме, че правилото за производна на частно, пак ще кажа, че имам смесени чувства към него, защото то следва директно от правилото за производна на произведение. Ако имаме нещо от вида f(x)/g(x), тогава производната ще бъде равна на това нещо ето тук. Искам да решим поне един пример, в който да го приложим. И ще го направим, като намерим производната на нещо полезно. Каква е производната спрямо х на... ще го напиша малко по-старателно – производната спрямо х на тангенс от х? Може да кажеш: "Хей, Сал, почакай, мислех, че ще разглеждаме правилото за производна на частно." Но само си спомни каква е дефиницията на тангенс от х. Как можем да представим тангенс от х? Тангенс от х е равно на синус от х – ще използвам различни цветове – равно е на синус от х върху косинус от х. И изглежда съвсем очевидно, че нашият израз е частно или това е една функция върху друга функция. Сега можем просто да приложим правилото за производна на частно. Всичко това ще бъде равно на производната на синус от х по косинус от х. Коя е производната на синус от х? Тя е косинус от х. Значи косинус от х е производната на синус от х, по функцията, която е в знаменателя. Значи по косинус от х, минус функцията, която е в числителя, това е синус х, по производната на това, което е в знаменателя. Колко е производната на косинус от х? Производната на косинус от х е равна на минус синус от х. Значи ще поставя тук синус от х. Това е със знак минус, така че ще направя това тук плюс. После всичко това е върху това, което е в знаменателя, на квадрат, значи върху косинус от х на квадрат. Как можем да опростим това? Тук в числителя имаме косинус от х по косинус от х. Това става косинус на квадрат от х. Синус от х по синус от х става синус на квадрат от х. Колко е косинус на квадрат от х плюс синус на квадрат от х? Това е едно от основните тригонометрични тъждества. То следва от определението на тригонометричните функции в единичната окръжност. Ще го запиша ето тук. Косинус на квадрат от х плюс синус на квадрат от х е равно на 1, което много опростява нещата. Значи косинус на квадрат от х плюс синус на квадрат от х, целият този числител е равен на 1. Това много хубаво се опростява до 1 върху косинус на квадрат от х, което може също да запишем така, косинус от х на квадрат. Това са два начина да запишем косинус на квадрат от х, което е същото като 1 върху косинус на квадрат от х, което е равно на секанс. (у нас не се използват наименованията на реципрочните тригонометрични функции секанс = 1/cos(x) и косеканс = 1/sin(x)) 1 върху косинус от х е просто секанс от х. Секанс на квадрат от х, или можем да го запишем така. Секанс на квадрат от х. Ето откъде идва това. Ако знаем, че производната на синус от х е косинус от х и че производната на косинус от х е минус синус от х, можем да използваме правилото за производна на частно, което е директно следствие от правилото за производна на произведение, за да намерим производната на тангенс от х, която е секанс на квадрат от х.