Решен пример: Производни на функциите sin(x) и cos(x)

Искаме да намерим производната на това g(x) и в началото може да изглежда страшно. Имаме sinx тук. Имаме един cosx. Имаме този шантав израз тук с пи върху корен трети х, цялото го повдигаме на квадрат и първоначално може да изглежда страшно. Но както ще видиш в това видео, всъщност можем да го сметнем, използвайки инструментите, които вече имаме. Използвайки съществуващите правила за диференциране. Използвайки това, което знаем за правилото за производна от степен, което ни казва, че производната на x на степен n е равна на n по х на степен n – 1. Това сме го виждали много пъти. Трябва също да използваме факта, че производната на cosx е равна на –sinx. И обратното: производната на sinx е равна на cosx. Използвайки само това, може да сметнем това. Да пресметнем g'(х). Спри видеото и виж дали можеш да го направиш. Сигурно най-страшната част от това, тъй като знаем производните на sinx и cosx, е този израз тук. Можем просто да запишем това или да го опростим малко, за да изглежда като нещо малко по-познато. Нека го направя от тази страна. Пи... Пи върху корен трети х на квадрат. Това е същото като... Това е равно на пи на квадрат върху корен трети х на квадрат. Това са просто свойствата на степените, с които работим. Следователно това е същото нещо. Ще запишем х на степен 1/3 и ще го повдигнем на втора степен. Това е равно на пи на квадрат върху... Нека го запиша по този начин. Няма да пропускам никакви стъпки, защото това е добър преговор на свойствата на степените. х на 1/3 на квадрат, което е същото нещо като пи на квадрат върху х на степен 2/3, което е същото нещо като пи на квадрат по х на степен –2/3. Следователно когато го запишем по този начин, се превръща във формула... И ти си казваш: "О, ето как се прилага правилото за производна от степен". Това нещо е просто пи на квадрат по х на степен –2/3. Всъщност нека изтрия това. Следователно това нещо може да се запише като пи на квадрат по х на степен –2/3. Сега нека сметнем производната за всяка част от този израз. Ще сметнем колко е g прим от х. g прим от х е равно на... Можем да го разгледаме като производна на 7sinx. Сега можем да направим оператора за производна от двете страни, за да е по-ясно какво правим. Ще го приложим тук. Ще го приложим тук. И ще го приложим тук. Тази производна е същото нещо като 7 по производната на sinx. Това ще бъде 7 по cosx. Това тук ще стане 3... ние изваждаме, затова ще бъде минус... Можем да извадим константата отпред, с която умножаваме израза. А производната на cosx... Следователно ще стане –3 по производната на косинус х, която е –sinх. Накрая за това в жълто ще приложим правилото за степента. Имаме –2/3... Всъщност да не забравяме този знак минус. Ще го запиша тук. Имаме –2/3. Умножаваме степента по коефициента. Може би изглежда объркващо, пи на квадрат, но това е просто число. Ще бъде минус и после имаме –2/3 по пи на квадрат, по х на степен –2/3 минус 1. Степен –2/3 минус 1. На какво е равно това? За g прим от х получаваме, че е равно на 7cosx... Да видим, имаме –3 по –sinx. Това е 3sinx. После имаме изваждане, но това е отрицателно, затова ще бъде положително. Можем да запишем плюс 2 пи на квадрат върху 3. 2 пи на квадрат върху 3. Това е тази част тук. По х на степен –2/3 минус 1, което е –1 и 2/3 или можем да кажем –5/3. Степен –5/3. И готово. Успяхме да се справим с това, което изглеждаше малко сложно, но всичко, което ни трябваше, беше правилото за производна от степен и това, което знаехме за производните на синус и косинус.