Решен пример: Приложение на правилото за диференциране на сложна функция спрямо функцията ∜(x³+4x²+7)

Нека видим дали можем да намерим производната на корен четвърти от х^3 + 4х^2 + 7. Първоначално може да си кажеш: "Как да сметна производната на корен четвърти от нещо? Изглежда, че имам сложна функция и смятам корен четвърти от друг израз." Това ще е вярно. И ако се занимаваш със сложни функции, верижното правило трябва да е първо в ума ти. Първо нека направим този корен четвърти малко по-удобен за нас. Просто да осъзнаем, че този корен четвърти е просто дробна степен. Това е същото нещо като производната на х^3 + 4х^2 + 7, цялото на степен 1/4. Как се смята производната на това? Можем да го разгледаме, както казах преди няколко секунди, като сложна функция. Какво правим първо с нашето х? Взимаме всичко това и го наричаме u(x). После каквото получим за u(x) го повдигаме на четвърта степен. Тази производна можем да сметнем като... Можем да разглеждаме това като външната функция спрямо u(x) и тогава да умножим това по производната на u спрямо х. Хайде да го направим. На какво ще е равно това? Ще вземем нашата външна функция, която ще оцветя в зелено. Взимам нещо на степен 1/4 и ще намеря производната му спрямо вътрешната функция, т.е. спрямо u(x). Просто ще използвам правилото за намиране на производна от степен. Просто ще изкарам 1/4 отпред и ще получа 1/4 по това, спрямо което смятам производната, на степен 1/4 минус 1. Просто използвам правилото за производна от степен. Тук нямам х. Сега смятаме производната спрямо u(x), т.е. спрямо този полиномен израз. Така че мога просто да сложа това u(x) тук, ако искам. Всъщност нека го направя. Това ще бъде х^3 + 4х^2 + 7. После ще умножа това, което вече е част от верижното правило. Сметнах производната на външната функция спрямо вътрешната и тогава умножавам това по производната на вътрешната. Каква ще производната на u(x)? u прим от х. Да видим. Просто ще използваме правилото за производна от степен няколко пъти. Ще бъде 3х^2 плюс, 2 по 4х е 8х на степен 2 минус 1, което е 1, т.е. на първа степен. Мога да запиша само 8х и тогава производната спрямо х на 7. Производната на константа ще бъде просто 0. Това е u прим от х. Сега ще умножа по u прим от х, което е 3х^2 + 8х. Мога да разчистя малко. Това е равно на... Всъщност нека запиша тази степен тук. Мога да запиша това 1/4 минус 1... 1/4 минус 1 е –3/4. На степен –3/4. Можем да преработим това по различни начини, но по-важното е да разберем, че това е приложението на верижното правило. Производната на външната... Всъщност първото трябва да осъзнаем, че корен четвърти е същото нещо като нещо на степен 1/4. Това е основно свойство на степените. После да осъзнаем: "Добре, тук имам сложна функция. Следователно мога да намеря производната на външната функция спрямо вътрешната. Това, което направихме тук, по производната на вътрешната спрямо х. И ако някой ти каже: "Добре, f(x) е равно на корен четвърти от х^3 + 4х^2 + 7." и после каже: "А колко е f прим от... например –3?" Ще сметнем това при –3. Нека го направя. 1/4 по... Получаваме –27... Надявам се, че ще се получи сравнително добре. плюс 36 плюс 7 на степен –3/4. На какво е равно това? Това ще е равно на: Това тук е 16, нали? –27 плюс 7 е –20, плюс 36, следователно това е 16. Мисля, че ще се получи добре. После по 3 по... 3 по 9, което е 27, минус 24. Това тук ще бъде... Това ще бъде 3. Колко е 16 на степен –3/4? Това е 1/4 по... 16 на степен 1/4 е 2 и после го повдигаме на... Не искам да пропуснем някоя стъпка. В този момент се занимаваме с алгебра или може би въведение в алгебрата. Това ще бъде по 16 на степен 1/4, и после ще го повдигнем на степен –3, по това 3 отпред. Можем да сложим това 3 там. 16 на степен 1/4 е 2. 2 на трета е 8. Следователно 2 на степен –3 е 1/8. Това е 1/8. Получаваме 3/4 по 1/8, което е равно на 3 върху 32. Това ще е наклонът на допирателната към графиката у = f(x), когато х е равно на –3.